by Tìm \(m\) để hàm số \(y = \frac{{2\cos x + 1}}{{\cos x – m}}\) đồng biến trên khoảng \(\left( {0;\pi } \right).\)
A. \(m \le 1.\)
B. \(m \ge – \frac{1}{2}.\)
C. \(m > – \frac{1}{2}.\)
D. \(m \ge 1.\)
Hướng dẫn
Chọn đáp án là D
Phương pháp giải:
Tính đạo hàm \(y’.\) Để hàm số đồng biến trên \(\left( {0;\pi } \right)\) thì ta cần \(y’\left( x \right) > 0,\,\,\forall x \in \left( {0;\pi } \right).\) Giải bất phương trình để tìm \(m.\)
Lời giải chi tiết:
Để hàm số \(y\) đồng biến trên \(\left( {0;\pi } \right)\) thì trước hết tập xác định của hàm số phải là \(\left( {0;\pi } \right).\) Do với \(x \in \left( {0;\pi } \right)\) thì \(\cos x \in \left( { – 1;1} \right)\) nên điều kiện cần là \(\left| m \right| \ge 1.\)
Với \(\left| m \right| \ge 1\) ta có \(y’\left( x \right) = \frac{{2m\sin x + {\mathop{\rm s}\nolimits} i{\rm{n}}x}}{{{{\left( {\cos x – m} \right)}^2}}} \Rightarrow \,y’\left( x \right) > 0\,\,\,\forall x \in \left( {0;\pi } \right) \Leftrightarrow \,\,\frac{{2m\sin x + {\mathop{\rm s}\nolimits} i{\rm{n}}x}}{{{{\left( {\cos x – m} \right)}^2}}} > 0\,\,\,\forall x \in \left( {0;\pi } \right) \Leftrightarrow {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}\left( {2m + 1} \right) > 0\,\,\forall x \in \left( {0;\pi } \right).\)
Do với \(x \in \left( {0;\pi } \right)\) thì \({\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} > 0\) nên bất phương trình \(\left( {2m + 1} \right)\sin x > 0\,\,\,\forall x \in \left( {0;\pi } \right) \Rightarrow 2m + 1 > 0 \Rightarrow m > – \frac{1}{2}.\)
Đối chiếu với điều kiện \(\left| m \right| \ge 1\) ta nhận được \(m \ge 1.\)
Chọn D.
