Có bao nhiêu giá trị nguyên của \(m\in (-10;10)\) để hàm số \(y={{m}^{2}}{{x}^{4}}-2\left( 4m-1 \right){{x}^{2}}+1\) đồng biến trên khoảng \((1;\,\,+\infty )\)?

Có bao nhiêu giá trị nguyên của \(m\in (-10;10)\) để hàm số \(y={{m}^{2}}{{x}^{4}}-2\left( 4m-1 \right){{x}^{2}}+1\) đồng biến trên khoảng \((1;\,\,+\infty )\)?

A. 15

B. 7

C. 16

D. 6

Hướng dẫn

Chọn đáp án là C

Phương pháp giải:

Để hàm số đồng biến trên \(\left( 1;+\infty \right)\Rightarrow y’\ge 0\,\,\forall x\in \left( 1;+\infty \right)\) và \(y’=0\) tại hữu hạn điểm thuộc \(\left( 1;+\infty \right)\)

Lời giải chi tiết:

Ta có \(y’=4{{m}^{2}}{{x}^{3}}-4\left( 4m-1 \right)x=4x\left( {{m}^{2}}{{x}^{2}}-4m+1 \right).\)

Để hàm số đồng biến trên \(\left( 1;+\infty \right)\Leftrightarrow y’\ge 0,\text{ }\forall x\in \left( 1;+\infty \right)\Leftrightarrow {{m}^{2}}{{x}^{2}}-4m+1\ge 0,\text{ }\forall x\in \left( 1;+\infty \right)\) (1)

Rõ ràng \(m=0\) thỏa mãn (1).

Với \(m\ne 0\) thì (1) \( \Leftrightarrow {x^2} \ge \frac{{4m – 1}}{{{m^2}}}\,\,\forall x \in \left( {1; + \infty } \right) \Leftrightarrow \frac{{4m – 1}}{{{m^2}}} \le 1 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}

m \ne 0\\

{m^2} – 4m + 1 \ge 0

\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}

m \ne 0\\

\left[ \begin{array}{l}

m \ge 2 + \sqrt 3 \\

m \le 2 – \sqrt 3

\end{array} \right.

\end{array} \right.\)

Vậy có 16 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Chọn C.