by Tìm tất cả những giá trị của m để hàm số \(y = \frac{{\cot 2x + m + 2}}{{\cot 2x – m}}\) đồng biến trên \(\left( {\frac{\pi }{6};\frac{\pi }{4}} \right)\)
A. \(m \in \left( { – \infty ; – 1} \right)\)
B. \(m \in \left( { – 1; + \infty } \right)\)
C. \(m \in \left( { – 1;0} \right) \cup \left( {\frac{{\sqrt 3 }}{3}; + \infty } \right)\)
D. \(m \in \left( { – \infty ;0} \right) \cup \left( {\frac{{\sqrt 3 }}{3}; + \infty } \right)\)
Hướng dẫn
Chọn đáp án là C
Phương pháp giải:
Áp dụng lý thuyết về tính đồng biến của hàm số
Lời giải chi tiết:
Đặt \(\cot 2x = t\left( {t \in R} \right)\). Khi đó bài toán trở thành tìm m để hàm số \(y = \frac{{t + m + 2}}{{t – m}}\) nghịch biến trên \(\left( {0;\frac{{\sqrt 3 }}{3}} \right)\)
Ta có: \(y’ = \frac{{ – 2m – 2}}{{{{\left( {t – m} \right)}^2}}}\). Hàm số nghịch biến trên \(\left( {0;\frac{{\sqrt 3 }}{3}} \right)\) khi \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{{ – 2m – 2}}{{{{\left( {t – m} \right)}^2}}} \le 0}\\{m \notin \left( {0;\frac{{\sqrt 3 }}{3}} \right)}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ge – 1\\\left[ \begin{array}{l}m \le 0\\m \ge \frac{{\sqrt 3 }}{3}\end{array} \right.\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} – 1 \le m \le 0\\m \ge \frac{{\sqrt 3 }}{3}\end{array} \right.\)
Khi \(m=-1\) hàm số trở thành \(y = \frac{{t + 1}}{{t + 1}} = 1 \Rightarrow \) hàm số ban đầu trở thành hàm hằng nên không thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Vậy \(\left[ \begin{array}{l} – 1 < m \le 0\\m \ge \frac{{\sqrt 3 }}{3}\end{array} \right.\).
Chọn C.
