by Tìm giá trị của m để hàm số \(y=-\frac{1}{3}{{x}^{3}}-m{{x}^{2}}+\left( 2m-3 \right)x-m+2\) nghịch biến trên tập xác định.
A. \(m<1\)
B. \(-3\le m\le 1\)
C. \(-3<m<1\)
D. \(\left[ \begin{align} & m\le -3 \\ & m\ge 1 \\ \end{align} \right.\)
Hướng dẫn
Chọn đáp án là B
Phương pháp giải:
Hàm số nghịch biến trên tập xác định \(\Leftrightarrow y’\le 0\) trên tập xác định và chỉ bằng 0 tại hữu hạn điểm.
Lời giải chi tiết:
Tập xác định: \(D=R.\)
Ta có: \(y’=-{{x}^{2}}-2mx+2m-3\)
\(\Rightarrow \) Hàm số nghịch biến trên tập xác định \(\Leftrightarrow y’\le 0\,\,\forall x\in R\Leftrightarrow -{{x}^{2}}-2mx+2m-3\le 0\,\,\forall \,\,x\in R\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a < 0\\\Delta ‘ \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} – 1 < 0\,\,\forall \,m\\{m^2} + 2m – 3 \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow – 3 \le m \le 1.\)
+) Xét với \(m=-3\) ta có: \(y’=-{{x}^{2}}+6x-9=-{{\left( x-3 \right)}^{2}}\le 0\,\,\forall x\in R\Rightarrow m=-3\) thì hàm số nghịch biến trên R.
+) Xét với \(m=1\) ta có: \(y’=-{{x}^{2}}-2x-1=-{{\left( x+1 \right)}^{2}}\le 0\,\,\forall x\in R\Rightarrow m=1\) thì hàm số nghịch biến trên R.
Chọn B.
