by Hàm số \(y={{x}^{3}}-6{{x}^{2}}+mx+1\) đồng biến trên \(\left( 0;+\infty \right)\) khi giá trị của \(m\) là:
A. \(m\ge 12\).
B. \(m\le 12\).
C. \(m\ge 0\).
D. \(m\le 0\).
Hướng dẫn
Chọn đáp án là A
Phương pháp giải:
Hàm số \(y=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d,\,\left( a\ne 0 \right)\)đồng biến trên \(\left( p;q \right)\) khi và chỉ khi \({y}’\ge 0,\,\forall x\in \left( p;q \right)\).
Lời giải chi tiết:
Ta có \({y}’=3{{x}^{2}}-12x+m\). Để hàm số đồng biến trên \(\left( 0;+\infty \right)\) thì \({y}’\ge 0\,,\forall x>0\)\(\Leftrightarrow 3{{x}^{2}}-12x+m\ge 0,\,\forall x>0\Leftrightarrow -3{{x}^{2}}+12x\le m,\forall x>0\). (*)
Xét \(y=g\left( x \right)=-3{{x}^{2}}+12x\) với \(x>0\).
Ta có \({g}’\left( x \right)=-6x+12=0\Leftrightarrow x=2\)(TM).
BBT \(y=g\left( x \right)\) với \(x>0\).
Từ BBT ta có \(\underset{\left( 0;+\infty \right)}{\mathop{\max }}\,g\left( x \right)=12\), từ (*) suy ra \(m\ge \underset{\left( 0;+\infty \right)}{\mathop{\max }}\,g\left( x \right)=12\Leftrightarrow m\ge 12\).
Chọn A.
