by .
Tập hợp $\mathbb{R}\backslash \left\{ k\pi \left| k\in \mathbb{Z} \right. \right\}$ không phải là tập xác định của hàm số nào?
C. $y=\frac{1-\cos x}{\sin x}$.
B. $y=\frac{1-\cos x}{2\sin x}$.
C. $y=\frac{1+\cos x}{\sin 2x}$.
D. $y=\frac{1+\cos x}{\sin x}$.
Hướng dẫn
$\sin 2x\ne 0\Leftrightarrow
\left[ \begin{align}
\sin 2x\ne \sin 0 \\
\sin 2x\ne \sin \pi
\end{align} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{align}
2x\ne k2\pi \\
2x\ne \pi +k2\pi
\end{align} \right.$$\Leftrightarrow x\ne \frac{k\pi }{2},\,k\in \mathbb{Z}$
$\sin x\ne 0 \Leftrightarrow\left[ \begin{align}
\sin x\ne \sin 0 \\
\sin x\ne \sin \pi
\end{align} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{align}
x\ne k2\pi \\
x\ne \pi +k2\pi
\end{align} \right.$$\Leftrightarrow x\ne k\pi ,\,k\in \mathbb{Z}$
Phân tích: Với các bài toán dạng này nếu ta để ý một chút thì sẽ thấy hàm $\cos x$ xác định với mọi $x\in \mathbb{R}$. Nên ta chỉ xét mẫu số, ở đây có đến ba phương án có mẫu số có chứa $\sin x$ như nhau là $A;\,D$ và $B$. Do đó ta chọn được luôn đáp án $C$
Trong ví dụ trên ta có thể gộp hai họ nghiệm $k2\pi $ và $\pi +k2\pi $ thành $k\pi $ dựa theo lý thuyết sau:
Mỗi cung (hoặc góc) lượng giác được biểu diễn bởi một điểm trên đường tròn lượng giác
$*\,x=\alpha +k2\pi ,\,k\in \mathbb{Z}$ được biểu diễn bởi một điểm trên đường tròn lượng giác.
$*\,x=\alpha +k\pi ,\,k\in \mathbb{Z}$ được biểu diễn bởi hai điểm đối xứng nhau qua $O$ trên đường tròn lượng giác.
$*\,x=\alpha +\frac{k2\pi }{3},\,k\in \mathbb{Z}$ được biểu diễn bởi ba điểm cách đều nhau, tạo thành $3$ đỉnh của một tam giác đều nội tiếp đường tròn lượng giác.
$*\,x=\alpha +\frac{k2\pi }{n},\,k\in \mathbb{Z},\,n\in {{\mathbb{N}}^{*}}$ được biểu diễn bởi $n$ điểm cách đều nhau, tạo thành $n$ đỉnh của một đa giác đều nội tiếp đường tròn lượng giác.
Giải thích cách gộp nghiệm ở ví dụ 3 ta có
Trên hình 1.11 hai chấm tròn đen là điểm biểu diễn hai nghiệm ta tìm được ở ví dụ 3. Từ đây nếu gộp nghiệm lại thì ta sẽ có $x=0+\frac{k2\pi }{2}=k\pi ,\,k\in \mathbb{Z}$.
