by Tam giác vuông có diện tích lớn nhất là bao nhiêu nếu tổng của một cạnh góc vuông và cạnh huyền bằng hằng số a (a > 0)?
A. \(\frac{2{{a}^{2}}}{9}\).
B. \(\frac{{{a^2}}}{{3\sqrt 3 }}\).
C. \(\frac{{{a^2}}}{{6\sqrt 3 }}\).
D. \(\frac{{{a^2}}}{9}\)
Hướng dẫn
Chọn đáp án là C
Lời giải chi tiết:
Giả sử \(\Delta ABC\)có \(\widehat A = {90^0};\,\,AB = x;\,\,BC = y\)
Có: \(x + y = a \Leftrightarrow y = a – x\)
Xét \(\Delta ABC\,\,\,\,\left( {\widehat A = {{90}^0}} \right)\) có:
\(\eqalign{
& A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}\,\left( {Pytago} \right) \cr
& \Leftrightarrow {x^2} + A{C^2} = {\left( {a – x} \right)^2} \cr
& \Leftrightarrow A{C^2} = {\left( {a – x} \right)^2} – {x^2} \cr
& \Leftrightarrow AC = \sqrt {{{\left( {a – x} \right)}^2} – {x^2}} \cr
& {S_{ABC}} = {1 \over 2}AB.AC = {1 \over 2}.x.\sqrt {{{\left( {a – x} \right)}^2} – {x^2}} \cr}\)
\(a = 1 \Rightarrow y = \frac{1}{2}.x.\sqrt {1 – 2x} \)
Xét \(y = \frac{1}{2}.x.\sqrt {{{\left( {a – x} \right)}^2} – {x^2}} \)
Giả sử coi hằng số
TXĐ: \(D = \left( {0;\frac{1}{2}} \right]\)
Dùng máy tính cầm tay: ấn tổ hợp phím MODE + 7
Nhập \(\left\{ \begin{array}{l}f\left( x \right) = \frac{1}{2}.x.\sqrt {1 – 2x} \\Start:0\\End:\frac{1}{2}\\Step:\frac{{End – Start}}{{19}} = \frac{1}{2}:19\end{array} \right.\)
Nhìn vào cột \(f\left( x \right)\)thấy \(max\,f\left( x \right) = 0,0961 \approx \frac{1}{{6\sqrt 3 }}\)
Chọn C.
