Tam giác $ ABC$ có trọng tâm $ G$ . Hai trung tuyến $ BM=6$ , $ CN=9$ và $ \widehat{BGC}={{120}^{0}}$ . Tính độ dài cạnh $ AB$ .

Tam giác $ ABC$ có trọng tâm $ G$ . Hai trung tuyến $ BM=6$ , $ CN=9$ và $ \widehat{BGC}={{120}^{0}}$ . Tính độ dài cạnh $ AB$ .

A. $ AB=\sqrt{11}$ .

B. $ AB=\sqrt{13}$ .

C. $ AB=2\sqrt{11}$ .

D. $ AB=2\sqrt{13}$ .

Hướng dẫn

Ta có: $ \widehat{BGC}$ và $ \widehat{BGN}$ là hai góc kề bù mà $ \widehat{BGC}={{120}^{0}}\Rightarrow \widehat{BGN}={{120}^{0}}. $

$ G$ là trọng tâm của tam giác $ \Delta ABC$

$ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}

BG=\frac{2}{3}BM=4. \\

GN=\frac{1}{3}CN=3.

\end{array} \right. $

Trong tam giác $ \Delta BGN$ ta có:

$ B{{N}^{2}}=G{{N}^{2}}+B{{G}^{2}}-2GN. BG. \cos \widehat{BGN}$

$ \Rightarrow B{{N}^{2}}=9+16-2. 3. 4. \frac{1}{2}=13\Rightarrow BN=\sqrt{13}. $

$ N$ là trung điểm của $ AB\Rightarrow AB=2BN=2\sqrt{13}. $ Chọn đáp án D.