Tam giác $ ABC$ có $ AB=3,\,\,BC=8$ . Gọi $ M$ là trung điểm của $ BC$ . Biết $ \cos \widehat{AMB}=\frac{5\sqrt{13}}{26}$ và $ AM>3$ . Tính độ dài cạnh $ AC$ .

A. $ AC=\sqrt{13}. $

B. $ AC=\sqrt{7}. $

C. $ AC=13. $

D. $ AC=7. $

Hướng dẫn

Ta có: $ M$ là trung điểm của $ BC$ $ \Rightarrow BM=\frac{BC}{2}=4. $

Trong tam giác $ ABM$ ta có: $ \cos \widehat{AMB}=\frac{A{{M}^{2}}+B{{M}^{2}}-A{{B}^{2}}}{2AM. BM}$

$ \Leftrightarrow A{{M}^{2}}-2AM. BM. \cos \widehat{AMB}+B{{M}^{2}}-A{{B}^{2}}=0. $

$ \Leftrightarrow A{{M}^{2}}-\frac{20\sqrt{13}}{13}AM+7=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}

AM=\sqrt{13}>3\,\,\,(t/m) \\

AM=\frac{7\sqrt{13}}{13}<3\,\,\,(loai)

\end{array} \right. $

$ \Rightarrow AM=\sqrt{13}. $

Ta có: $ \widehat{AMB}$ và $ \widehat{AMC}$ là hai góc kề bù.

$ \Rightarrow \cos \widehat{AMC}=-\cos \widehat{AMB}=-\frac{5\sqrt{13}}{26}$

Trong tam giác $ \Delta AMC$ ta có:

$ A{{C}^{2}}=A{{M}^{2}}+C{{M}^{2}}-2AM. CM. \cos \widehat{AMC}$

$ =13+16-2. \sqrt{13}. 4. \left( -\frac{5\sqrt{13}}{26} \right)=49\Rightarrow AC=7. $ Chọn đáp án D.