Số phức \(z\) thỏa mãn \(3 – 2i + \frac{{\overline z }}{i}\) là số thực và \(\left| {z + i} \right| = 2\). Phần ảo của \(z\) là:

Số phức \(z\) thỏa mãn \(3 – 2i + \frac{{\overline z }}{i}\) là số thực và \(\left| {z + i} \right| = 2\). Phần ảo của \(z\) là:

A. \( – 1\)

B. \( – 2\)

C. \(1\)

D. \(2\)

Hướng dẫn

Chọn đáp án là A

Phương pháp giải:

Đặt \(z = a + bi\,\,\left( {a,b \in \mathbb{R}} \right) \Rightarrow \overline z = a – bi\).

Lời giải chi tiết:

Giả sử \(z = a + bi\,\,\left( {a,b \in \mathbb{R}} \right) \Rightarrow \overline z = a – bi\).

Theo bài ra ta có: \(3 – 2i + \frac{{\overline z }}{i} = 3 – 2i – \left( {a – bi} \right)i = 3 – 2i – ai – b\) là số thực \( \Rightarrow – 2 – a = 0 \Leftrightarrow a = – 2\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow z = – 2 + bi \Rightarrow \left| {z + i} \right| = \left| { – 2 + bi + i} \right| = \left| { – 2 + \left( {b + 1} \right)i} \right| = 2\\ \Leftrightarrow \sqrt {4 + {{\left( {b + 1} \right)}^2}} = 2 \Leftrightarrow 4 + {\left( {b + 1} \right)^2} = 4 \Leftrightarrow b + 1 = 0 \Leftrightarrow b = – 1\end{array}\)

Vậy \({\mathop{\rm Im}\nolimits} z = b = – 1\).

Chọn A