Xét các khẳng định sau i)\({\left| {{z_1} – {z_2}} \right|^2} = {\left( {{z_1} – {z_2}} \right)^2}_{}^{}\forall {z_1},{z_2} \in \mathbb{C}\) ii)\({\left| {{z_1} – {z_2}} \right|^2} = \left( {{z_1} – {z_2}} \right)\overline {\left( {{z_1} – {z_2}} \right)} _{}^{}\forall {z_1},{z_2} \in \mathbb{C}\) iii)\({\left| {{z_1}} \right|^2} + {\left| {{z_2}} \right|^2} = 2{\left| {\frac{{{z_1} + {z_2}}}{2}} \right|^2} + \frac{1}{2}{\left| {{z_1} – {z_2}} \right|^2}\forall {z_1},{z_2} \in \mathbb{C}\) Số khẳng định đúng là

Xét các khẳng định sau

i)\({\left| {{z_1} – {z_2}} \right|^2} = {\left( {{z_1} – {z_2}} \right)^2}_{}^{}\forall {z_1},{z_2} \in \mathbb{C}\)

ii)\({\left| {{z_1} – {z_2}} \right|^2} = \left( {{z_1} – {z_2}} \right)\overline {\left( {{z_1} – {z_2}} \right)} _{}^{}\forall {z_1},{z_2} \in \mathbb{C}\)

iii)\({\left| {{z_1}} \right|^2} + {\left| {{z_2}} \right|^2} = 2{\left| {\frac{{{z_1} + {z_2}}}{2}} \right|^2} + \frac{1}{2}{\left| {{z_1} – {z_2}} \right|^2}\forall {z_1},{z_2} \in \mathbb{C}\)

Số khẳng định đúng là

A. \(0\)

B. \(1\)

C. \(2\)

D. \(3\)

Hướng dẫn

Chọn đáp án là C

Phương pháp giải:

+) Đặt \({z_1} = {x_1} + {y_1}i,\,\,{z_2} = {x_2} + {y_2}i\,\,\left( {{x_1};{x_2};{y_1};{y_2} \in \mathbb{R}} \right)\).

+) Xét từng đáp án và kết luận, sử dụng các công thức \(z = a + bi \Rightarrow \left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} ;\,\,z.\overline z = {\left| z \right|^2}\).

Lời giải chi tiết:

Đặt \({z_1} = {x_1} + {y_1}i,\,\,{z_2} = {x_2} + {y_2}i\,\,\left( {{x_1};{x_2};{y_1};{y_2} \in \mathbb{R}} \right)\).

i)

\(\begin{array}{l}{\left| {{z_1} – {z_2}} \right|^2} = {\left| {{x_1} + {y_1}i – {x_2} – {y_2}i} \right|^2} = {\left( {{x_1} – {x_2}} \right)^2} + {\left( {{y_1} – {y_2}} \right)^2}\\{\left( {{z_1} – {z_2}} \right)^2} = {\left( {{x_1} + {y_1}i – {x_2} – {y_2}i} \right)^2} = {\left( {{x_1} – {x_2}} \right)^2} + 2\left( {{x_1} – {x_2}} \right)\left( {{y_1} – {y_2}} \right)i – {\left( {{y_1} – {y_2}} \right)^2}\end{array}\)

\( \Rightarrow i)\) sai.

ii) đúng theo công thức \(z.\overline z = {\left| z \right|^2}\) với \(z = {z_1} + {z_2}\).

iii)

\(\begin{array}{l}VP = \frac{{{{\left| {{z_1} + {z_2}} \right|}^2} + {{\left| {{z_1} – {z_2}} \right|}^2}}}{2}\\ = \frac{{{{\left| {{x_1} + {y_1}i + {x_2} + {y_2}i} \right|}^2} + {{\left| {{x_1} + {y_1}i – {x_2} – {y_2}i} \right|}^2}}}{2}\\ = \frac{{{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} + {{\left( {{y_1} + {y_2}} \right)}^2} + {{\left( {{x_1} – {x_2}} \right)}^2} + {{\left( {{y_1} – {y_2}} \right)}^2}}}{2}\\ = \frac{{x_1^2 + 2{x_1}{x_2} + x_2^2 + y_1^2 + 2{y_1}{y_2} + y_2^2 + x_1^2 – 2{x_1}{x_2} + x_2^2 + y_1^2 – 2{y_1}{y_2} + y_2^2}}{2}\\ = \frac{{2x_1^2 + 2y_1^2 + 2x_2^2 + 2y_2^2}}{2} = x_1^2 + y_1^2 + x_2^2 + y_2^2\\VT = {\left| {{z_1}} \right|^2} + {\left| {{z_2}} \right|^2} = x_1^2 + y_1^2 + x_2^2 + y_2^2 = VP\end{array}\)

\( \Rightarrow iii)\) đúng.

Chọn C.