by Phương trình bậc hai nào sau đây có nghiệm là \(1+2i?\)
A. \({{z}^{2}}-2z+3=0.\)
B. \({{z}^{2}}+2z+5=0.\)
C. \({{z}^{2}}-2z+5=0.\)
D. \({{z}^{2}}+2z+3=0.\)
Hướng dẫn
Chọn đáp án là C
Phương pháp giải:
Cách 1: Giải các phương trình bậc hai ẩn z ở các đáp án, đáp án nào có nghiệm \(z=1+2i\) thì chọn đáp án đó.
Cách 2: Thay nghiệm \(z=1+2i\) vào các phương trình ở các đáp án. Đáp án nào thỏa mãn thì chọn đáp án đó.
Lời giải chi tiết:
+) Xét phương trình: \({z^2} – 2z + 3 = 0 \Leftrightarrow {z^2} – 2z + 1 + 2 = 0 \Leftrightarrow {\left( {z – 1} \right)^2} = – 2 \Leftrightarrow {\left( {z – 1} \right)^2} = 2{i^2}\)
\(\Leftrightarrow \left| {z – 1} \right| = \sqrt 2 i \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}z – 1 = \sqrt 2 i\\z – 1 = – \sqrt 2 i
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z = 1 + \sqrt 2 i\\z = 1 – \sqrt 2 i
\end{array} \right. \Rightarrow \) loại đáp án A.
+) Xét phương trình: \({{z}^{2}}+2z+5=0\Leftrightarrow {{z}^{2}}+2z+4+1=0\Leftrightarrow {{\left( z+2 \right)}^{2}}=-1={{i}^{2}}\)
\( \Leftrightarrow \left| {z + 2} \right| = i \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
z + 2 = i\\
z + 2 = – i
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
z = – 2 + i\\
z = – 2 – i
\end{array} \right. \Rightarrow \)loại đáp án B.
+) Xét phương trình: \({{z}^{2}}-2z+5=0\Leftrightarrow {{z}^{2}}-2z+1+4=0\Leftrightarrow {{\left( z-1 \right)}^{2}}=-4=-4{{i}^{2}}\)
\( \Leftrightarrow \left| {z – 1} \right| = 2i \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
z – 1 = 2i\\
z – 1 = – 2i
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
z = 1 + 2i\\
z = 1 – 2i
\end{array} \right. \Rightarrow \) chọn đáp án C.
Chọn C.
