Tháng Bảy 2, 2022

Phương pháp đặt ẩn phụ

Phương pháp: $f\left[ {{a^{g\left( x \right)}}} \right] = 0$ $\left( {0 < a \ne 1} \right)$ $ \Leftrightarrow {\rm{ }}\left\{ \begin{array}{l}
t = {a^{g\left( x \right)}} > 0\\
f\left( t \right) = 0
\end{array} \right.$

  • Dạng 1: Ta có dạng tổng quát của bài toán trên là: $F\left( {{a^{f\left( x \right)}}} \right) = 0.$ Với dạng này ta đặt $t = {a^{f\left( x \right)}}$, $t > 0$ và chuyển về phương trình $F\left( t \right) = 0$, giải tìm nghiệm dương $t$ của phương trình, từ đó ta tìm được $x.$ Ta thường gặp dạng: $m.{a^{2f\left( x \right)}} + n.{a^{f\left( x \right)}} + p = 0.$ Với bất phương trình ta cũng làm tương tự.
  • Dạng 2: $m.{a^{f\left( x \right)}} + n.{b^{f\left( x \right)}} + p = 0$, trong đó $a.b = 1.$
    Đặt $t = {a^{f\left( x \right)}}$, $t > 0$ $ \Rightarrow {b^{f\left( x \right)}} = \frac{1}{t}.$
  • Dạng 3: $m.{a^{2f\left( x \right)}} + n.{\left( {a.b} \right)^{f\left( x \right)}} + p.{b^{2f\left( x \right)}} = 0$. Chia $2$ vế phương trình cho ${b^{2f\left( x \right)}}$ và đặt $t = {\left( {\frac{a}{b}} \right)^{f\left( x \right)}}$, $t > 0$. Ta có phương trình: $m{t^2} + nt + p = 0.$

Ví dụ 1. Giải các phương trình:
1. ${2.16^x} – {15.4^x} – 8 = 0.$

2. ${2^{3x}} – {6.2^x} – \frac{1}{{{2^{3(x – 1)}}}} + \frac{{12}}{{{2^x}}} = 1.$

1. Đặt $t = {4^x}, t > 0$ ta có phương trình $2{t^2} – 15t – 8 = 0$ $ \Leftrightarrow t = 8, t = – \frac{1}{2}$ (loại).
Với $t = 8$ $ \Leftrightarrow {2^x} = {2^3} \Leftrightarrow x = 3.$
Vậy, phương trình cho có nghiệm $x = 3.$

2. Đặt $t = {2^x}, t > 0$ ta có: ${t^3} – 6t – \frac{8}{{{t^3}}} + \frac{{12}}{t} = 1$ $ \Leftrightarrow \left( {{t^3} – \frac{8}{{{t^3}}}} \right) – 6\left( {t – \frac{2}{t}} \right) – 1 = 0.$
Đặt $y = t – \frac{2}{t}$ $ \Rightarrow {t^3} – \frac{8}{{{t^3}}}$ $ = \left( {t – \frac{2}{t}} \right)\left( {{t^2} + \frac{4}{{{t^2}}} + 2} \right)$ $ = \left( {t – \frac{2}{t}} \right)\left[ {{{(t – \frac{2}{t})}^2} + 6} \right]$ $ = y({y^2} + 6).$
Nên ta có phương trình: ${y^3} – 1 = 0 \Leftrightarrow y = 1$ $ \Leftrightarrow t – \frac{2}{t} = 1$
$ \Leftrightarrow {t^2} – t – 2 = 0$ $ \Leftrightarrow t = 2 \Leftrightarrow x = 1.$
Vậy, phương trình cho có nghiệm $x = 1.$

Ví dụ 2. Giải các phương trình:
1. ${3.8^x} + {4.12^x} – {18^x} – {2.27^x} = 0.$

2. ${9^{ – {x^2} + 2x + 1}} – {34.15^{2x – {x^2}}}$ $ + {25^{2x – {x^2} + 1}} = 0.$

1. Phương trình đã cho $ \Leftrightarrow 3{\left( {\frac{2}{3}} \right)^{3x}} + 4.{\left( {\frac{2}{3}} \right)^{2x}} – {\left( {\frac{2}{3}} \right)^x} – 2 = 0.$
Đặt $t = {\left( {\frac{2}{3}} \right)^x}, t > 0$ ta được: $3{t^3} + 4{t^2} – t – 2 = 0$ $ \Leftrightarrow (t + 1)(3{t^2} + t – 2) = 0$ $ \Leftrightarrow t = \frac{2}{3} \Leftrightarrow x = 1.$
Vậy, phương trình cho có nghiệm $x = 1.$

2. Phương trình $ \Leftrightarrow {9.9^{2x – {x^2}}} – {34.15^{2x – {x^2}}} + {25.25^{2x – {x^2}}} = 0$
$ \Leftrightarrow 9{\left( {\frac{3}{5}} \right)^{2(2x – {x^2})}} – 34{\left( {\frac{3}{5}} \right)^{2x – {x^2}}} + 25 = 0.$
Đặt $t = {\left( {\frac{3}{5}} \right)^{2{\rm{x}} – {x^2}}}, t > 0.$
Ta có phương trình: $9{t^2} – 34t + 25 = 0$ $ \Leftrightarrow t = 1$ hoặc $t = \frac{{25}}{9}.$

  • Với $t = 1 \Leftrightarrow {\left( {\frac{3}{5}} \right)^{2x – {x^2}}} = 1$ $ \Leftrightarrow 2x – {x^2} = 0$ $ \Leftrightarrow x = 0; x = 2.$
  • Với $t = \frac{{25}}{9} \Leftrightarrow {\left( {\frac{3}{5}} \right)^{2x – {x^2}}} = {\left( {\frac{3}{5}} \right)^{ – 2}}$ $ \Leftrightarrow {x^2} – 2x – 2 = 0$ $ \Leftrightarrow x = 1 \pm \sqrt 3 .$

Vậy phương trình đã cho có các nghiệm $x = 0; x = 2; x = 1 \pm \sqrt 3 .$

Ví dụ 3. Giải các phương trình:

1. ${2^{2{x^2} + 1}} – {9.2^{{x^2} + x}} + {2^{2x + 2}} = 0.$

2. $\frac{8}{{{2^{x – 1}} + 1}} + \frac{{{2^x}}}{{{2^x} + 2}} = \frac{{18}}{{{2^{x – 1}} + {2^{1 – x}} + 2}}.$

Giải

1. Chia cả $2$ vế phương trình cho ${2^{2x + 2}} \ne 0$ ta được:
${2^{2{x^2} – 2x – 1}} – {9.2^{{x^2} – 2x – 2}} + 1 = 0$ $ \Leftrightarrow \frac{1}{2}{.2^{2{x^2} – 2x}} – \frac{9}{4}{.2^{{x^2} – x}} + 1 = 0$
$ \Leftrightarrow {2.2^{2{x^2} – 2x}} – {9.2^{{x^2} – x}} + 4 = 0.$

Đặt $t = {2^{{x^2} – x}}, t > 0.$ Khi đó phương trình cho viết lại:
$2{t^2} – 9t + 4 = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
t = 4\\
t = \frac{1}{2}
\end{array} \right.$ $ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
{2^{{x^2} – x}} = {2^2}\\
{2^{{x^2} – x}} = {2^{ – 1}}
\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
{x^2} – x = 2\\
{x^2} – x = – 1
\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = – 1\\
x = 2
\end{array} \right.$
Vậy phương trình có $2$ nghiệm $x = – 1, x = 2.$

Chú ý: Để ý bài toán cho không có tham số nên ta sử dụng điều kiện cho ẩn phụ chỉ là $t > 0$ và nếu $t = \frac{1}{2}$ vô nghiệm. Nếu bài toán có chứa tham số thì điều kiện đúng của: ${x^2} – x = {\left( {x – \frac{1}{2}} \right)^2} – \frac{1}{4} \ge – \frac{1}{4}$ $ \Leftrightarrow {2^{{x^2} – x}} \ge {2^{\frac{1}{4}}} \Leftrightarrow t \ge \frac{1}{{\sqrt[4]{2}}}.$

2. Phương trình cho viết lại: $\frac{8}{{{2^{x – 1}} + 1}} + \frac{1}{{{2^{1 – x}} + 1}} = \frac{{18}}{{{2^{x – 1}} + {2^{1 – x}} + 2}}$ $(*).$

Đặt: $u = {2^{x – 1}} + 1$, $v = {2^{1 – x}} + 1$ $\left( {u,v > 1} \right).$

Phương trình $(*)$ trở thành: $\left\{ \begin{array}{l}
\frac{8}{u} + \frac{1}{v} = \frac{{18}}{{u + v}}\\
u + v = uv
\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
u + 8v = 18\\
u + v = uv
\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow u = v = 2$ hoặc $u = 9; v = \frac{9}{8}.$
+ Với $u = v = 2$, ta được $\left\{ \begin{array}{l}
{2^{x – 1}} + 1 = 2\\
{2^{1 – x}} + 1 = 2
\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 1.$
+ Với $u = 9; v = \frac{9}{8}$, ta được $\left\{ \begin{array}{l}
{2^{x – 1}} + 1 = 9\\
{2^{1 – x}} + 1 = \frac{9}{8}
\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 4.$
Vậy, phương trình đã cho có nghiệm $x = 1, x = 4.$