by : Một nhóm học sinh gồm 15 nam và 5 nữ. Người ta muốn chọn từ nhóm ra 5 người để lập thành một đội cờ đỏ sao cho phải có 1 đội trưởng nam, 1 đội phó nam và có ít nhất 1 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách lập đội cờ đỏ.
A. 131444
B. 141666
C. 241561
D. 111300
Hướng dẫn
Vì trong 5 người được chọn phải có ít nhất 1 nữ và ít nhất phải có 2 nam nên số học sinh nữ gồm 1 hoặc 2 hoặc 3 nên ta có các trường hợp sau:
$\bullet $ chọn 1 nữ và 4 nam.
+) Số cách chọn 1 nữa: 5 cách
+) Số cách chọn 2 nam làm đội trưởng và đội phó: $A_{15}^{2}$
+) Số cách chọn 2 nam còn lại: $C_{13}^{2}$
Suy ra có $5A_{15}^{2}.C_{13}^{2}$ cách chọn cho trường hợp này.
$\bullet $ chọn 2 nữ và 3 nam.
+) Số cách chọn 2 nữ: $C_{5}^{2}$ cách.
+) Số cách chọn 2 nam làm đội trưởng và đội phó: $A_{15}^{2}$cách.
+) Số cách chọn 1 còn lại: 13 cách.
Suy ra có $13A_{15}^{2}.C_{5}^{2}$ cách chọn cho trường hợp này.
$\bullet $ Chọn 3 nữ và 2 nam.
+) Số cách chọn 3 nữ : $C_{5}^{3}$ cách.
+) Số cách chọn 2 làm đội trưởng và đội phó: $A_{15}^{2}$ cách.
Suy ra có $A_{15}^{2}.C_{5}^{3}$ cách chọn cho trường hợp 3.
Vậy có $5A_{15}^{2}.C_{13}^{2}+13A_{15}^{2}.C_{5}^{2}+A_{15}^{2}.C_{5}^{3}=111300$ cách.
