by Một mạch điện xoay chiều AB gồm điện trở thuần R , cuộn dây thuần cảm L, tụ điện C theo thứ tự mắc nối tiếp, với 2L > CR$^{2}$. Gọi M là điểm nối giữa cuộn dây L và tụ điện C. Đặt vào 2 đầu đoạn mạch 1 điện áp xoay chiều có biểu thức $u=U\sqrt{2}\cos \omega t$ có U không đổi và ω thay đổi được. Thay đổi ω để điện áp hiệu dụng giữa hai bản tụ đạt giá trị cực đại U$_{Cmax}$ = $\frac{5}{4}U$. Hệ số công suất của đoạn mạch AM là
A. $\frac{1}{\sqrt{3}}$.
B. $\frac{2}{\sqrt{5}}$.
C. $\frac{1}{\sqrt{7}}$.
D. $\frac{2}{\sqrt{7}}$.
Hướng dẫn
${{U}_{C}}=I. {{Z}_{C}}=\frac{U}{\omega C\sqrt{{{R}^{2}}+{{(\omega L-\frac{1}{\omega C})}^{2}}}}=\frac{U}{C\sqrt{{{\omega }^{2}}({{R}^{2}}+{{\omega }^{2}}{{L}^{2}}+\frac{1}{{{\omega }^{2}}{{C}^{2}}}-2\frac{L}{C}})}=\frac{U}{C\sqrt{Y}}$ ${{U}_{C}}={{U}_{Cmax}}$
khi $Y\text{ }=\text{ }{{L}^{2}}{{\omega }^{4}}+\left( {{R}^{2}}-2\frac{L}{C} \right){{\omega }^{2}}+\frac{1}{{{C}^{2}}}$ có giá trị cực tiểu Y$_{min }$
Đặt $x={{\omega }^{2}},Y={{L}^{2}}{{x}^{4}}+\left( {{R}^{2}}-2\frac{L}{C} \right){{x}^{2}}+\frac{1}{{{C}^{2}}}$
Lấy đạo hàm của Y theo x, cho Y’ = 0
$\Rightarrow x={{\omega }^{2}}=\frac{2\frac{L}{C}-{{R}^{2}}}{2{{L}^{2}}}=\frac{1}{LC}-\frac{{{R}^{2}}}{2{{L}^{2}}}$ Hay ${{\omega }^{2}}=\frac{1}{LC}-\frac{{{R}^{2}}}{2{{L}^{2}}}\Rightarrow \omega =\frac{1}{L}\sqrt{\frac{L}{C}-\frac{{{R}^{2}}}{2}}$
Lai có. ${{U}_{Cmax}}=\frac{2UL}{R\sqrt{4LC-{{R}^{2}}{{C}^{2}}}}=\frac{5}{4}U$
$\Rightarrow {{R}^{2}}=\frac{20L}{25C}=0,8\frac{L}{C}\Rightarrow \frac{L}{C}=1,25{{R}^{2}}$(**)
Hệ số công suất của đoạn mạch AM.
$cos{{\varphi }_{AM}}=\frac{R}{\sqrt{{{R}^{2}}+{{\omega }^{2}}{{L}^{2}}}}$
${{Z}_{AM}}=\sqrt{{{R}^{2}}+{{\omega }^{2}}{{L}^{2}}}=\sqrt{{{R}^{2}}+\left( \frac{1}{LC}-\frac{{{R}^{2}}}{2{{L}^{2}}} \right){{L}^{2}}}=\sqrt{{{R}^{2}}+\frac{L}{C}-\frac{{{R}^{2}}}{2}}=\frac{\sqrt{7}}{2}R$
$\Rightarrow cos{{\varphi }_{AM}}=\frac{R}{\sqrt{{{R}^{2}}+{{\omega }^{2}}{{L}^{2}}}}=\frac{2}{\sqrt{7}}$
