Kí hiệu $k!=k\left( k-1 \right)…2.1,\forall k\in {{\mathbb{N}}^{*}}$. Với $n\in {{\mathbb{N}}^{*}}$, đặt ${{S}_{n}}=1.1!+2.2!+…+n.n!$. Mệnh đề nào dưới đây là đúng?

Kí hiệu $k!=k\left( k-1 \right)…2.1,\forall k\in {{\mathbb{N}}^{*}}$. Với $n\in {{\mathbb{N}}^{*}}$, đặt ${{S}_{n}}=1.1!+2.2!+…+n.n!$. Mệnh đề nào dưới đây là đúng?

C. ${{S}_{n}}=2.n!$.

B. ${{S}_{n}}=\left( n+1 \right)!-1$.

C. ${{S}_{n}}=\left( n+1 \right)!$.

D. ${{S}_{n}}=\left( n+1 \right)!+1$.

Hướng dẫn

Đáp án B.

Chúng ta có thể chọn phương án đúng dựa vào một trong hai cách sau đây:

Cách 1: Kiểm nghiệm từng phương án đúng đối với những giá trị cụ thể của $n$.

Với $n=1$ thì ${{S}_{1}}=1.1!=1$ (Loại ngay được các phương án A, C, D).

Cách 2: Rút gọn ${{S}_{n}}$ dựa vào việc phân tích phần tử đại diện $k.k!=\left( k+1-1 \right).k!=\left( k+1 \right).k!-k!=\left( k+1 \right)!-k!$. Suy ra: ${{S}_{n}}=\left( 2!-1! \right)+\left( 3!-2! \right)+…+\left( \left( n+1 \right)!-n! \right)=\left( n+1 \right)!-1$.