by Với $n\in {{\mathbb{N}}^{*}}$, hãy rút gọn biểu thức $S=1.4+2.7+3.10+…+n\left( 3n+1 \right)$.
C. $S=n{{\left( n+1 \right)}^{2}}$.
B. $S=n{{\left( n+2 \right)}^{2}}$.
C. $S=n\left( n+1 \right)$.
D. $S=2n\left( n+1 \right)$.
Hướng dẫn
Đáp án A.
Để chọn được $S$ đúng, chúng ta có thể dựa vào một trong ba cách sau đây:
Cách 1: Kiểm tra tính đúng –sai của từng phương án với những giá trị của $n$.
Với $n=1$ thì $S=1.4=4$ (loại ngay được phương án B và C); với $n=2$ thì $S=1.4+2.7=18$ (loại được phương án D).
Cách 2: Bằng cách tính $S$ trong các trường hợp $n=1,S=4;\text{ }n=2,S=18;\text{ }n=3,S=48$ ta dự đoán được công thức $S=n{{\left( n+1 \right)}^{2}}$.
Cách 3: Ta tính $S$ dựa vào các tổng đã biết kết quả như $1+2+…+n=\frac{n\left( n+1 \right)}{2}$ và ${{1}^{2}}+{{2}^{2}}+…+{{n}^{2}}=\frac{n\left( n+1 \right)\left( 2n+1 \right)}{6}$. Ta có: $S=3\left( {{1}^{2}}+{{2}^{2}}+…+{{n}^{2}} \right)+\left( 1+2+…+n \right)=n{{\left( n+1 \right)}^{2}}$.
