by Hình bình hành có hai cạnh là $ 5$ và $ 9,$ một đường chéo bằng $ 11. $ Tìm đường chéo còn lại.
A. $ 9,5. $
B. $ 4\sqrt{6}. $
C. $ \sqrt{91}. $
D. $ 3\sqrt{10}. $
Hướng dẫn
Hình bình hành $ ABCD$ có $ AB=5;BC=9. $
Gọi $ O=AC\cap BD\Rightarrow $ $ O$ là trung điểm của $ AC,BD. $
TH1: $ AC=11. $
$ \Rightarrow B{{O}^{2}}=\frac{B{{A}^{2}}+B{{C}^{2}}}{2}-\frac{A{{C}^{2}}}{4}$ $ =\frac{{{5}^{2}}+{{9}^{2}}}{2}-\frac{{{11}^{2}}}{4}=\frac{91}{4}$
$ \Rightarrow BO=\frac{\sqrt{91}}{2}\Rightarrow BD=2BO=\sqrt{91}. $
TH2: $ BD=11\Rightarrow BO=\frac{11}{2}. $
Trong tam giác $ ABC$ ta có:
$ B{{O}^{2}}=\frac{B{{A}^{2}}+B{{C}^{2}}}{2}-\frac{A{{C}^{2}}}{4}$
$ \Rightarrow A{{C}^{2}}=2\left( B{{A}^{2}}+B{{C}^{2}} \right)-4. B{{O}^{2}}$ $ =2\left( {{5}^{2}}+{{9}^{2}} \right)-4. {{\left( \frac{11}{2} \right)}^{2}}=91$
$ AC=\sqrt{91}$
Chọn đáp án C.
