Hệ phương trình $\left\{\begin{matrix}{{x}^{2}}+xy+{{y}^{2}}=1& \\ x-y-xy=3 & \end{matrix}\right.$ có bao nhiêu nghiệm?

Hệ phương trình $\left\{\begin{matrix}{{x}^{2}}+xy+{{y}^{2}}=1& \\ x-y-xy=3 & \end{matrix}\right.$ có bao nhiêu nghiệm?

A. $0. $

B. $1. $

C. $2. $

D. $4. $

Hướng dẫn

Đặt $t=-y$ ta được hệ đối xứng: $\left\{ \begin{array}{l} {{x}^{2}}-tx+{{t}^{2}}=1 \\ x+t+tx=3 \end{array} \right. $

Đặt $\left\{ \begin{array}{l} S=x+t \\ P=xt \end{array} \right. $, điều kiện ${{\text{S}}^{2}}\ge 4\text{P}$ ta được: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{S^2} – 3P = 1}\\ {S + P = 3} \end{array}} \right. \Leftrightarrow {S^2} + 3S – 10 = 0$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} S=-5 \\ S=2 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} S=-5 \\ P=8 \end{array} \right. (\text{loai, KTM }{{\text{S}}^{2}}\ge 4P) \\ \left\{ \begin{array}{l} S=2 \\ P=1 \end{array} \right. \end{array} \right. $. Với $\left\{ \begin{array}{l} S=2 \\ P=1 \end{array} \right. $ ta có: $\left\{ \begin{array}{l} x+t=2 \\ x. t=1 \end{array} \right. $ $\Rightarrow x,t$ là nghiệm của phương trình ${{u}^{2}}-2u+1=0\Leftrightarrow u=1. $ Vậy: $x=t=1. $

Với $t=1\Rightarrow y=-1. $ x= t =1. t = 1 => y = -1.

Vậy, hệ có nghiệm duy nhất $\left( 1;-1 \right). $ Chọn đáp án B.