by Gọi ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ là hai nghiệm phân biệt của phương trình ${{x}^{2}}-\left( 2m+1 \right)x+{{m}^{2}}+1=0$ với $m$ là tham số. Có bao nhiêu giá trị nguyên của $m$ sao cho biểu thức $P=\frac{{{x}_{1}}{{x}_{2}}}{{{x}_{1}}+{{x}_{2}}}$ có giá trị nguyên?
A. $1. $
B. $2. $
C. $3. $
D. $4. $
Hướng dẫn
Ta có: $\Delta ={{\left( 2m+1 \right)}^{2}}-4\left( {{m}^{2}}+1 \right)=4m-3. $ Phương trình có hai nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow \Delta >0\Leftrightarrow 4m-3>0\Leftrightarrow m>\frac{3}{4}$ Theo Viet ta có: $\left\{ \begin{array}{l} {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=2m+1 \\ {{x}_{1}}{{x}_{2}}={{m}^{2}}+1 \end{array} \right. $ Khi đó: $P=\frac{{{x}_{1}}{{x}_{2}}}{{{x}_{1}}+{{x}_{2}}}=\frac{{{m}^{2}}+1}{2m+1}=\frac{2m-1}{4}+\frac{5}{4\left( 2m+1 \right)}$$\Rightarrow 4P=2m-1+\frac{5}{2m+1}$ Do $m>\frac{3}{4}\Rightarrow 2m+1>\frac{5}{2}. $ Để $P\in \mathbb{Z}$ thì ta phải có $\left( 2m+1 \right)$ là ước của $5\Rightarrow 2m+1=5\Leftrightarrow m=2. $ Thử lại, với $m=2$ ta được: $P=1\in \mathbb{Z}$ thỏa mãn. Chọn đáp án A.
