by Gọi \({m_1},{m_2}\) là các giá trị của tham số m sao cho đồ thị hàm số \(y = {x^3} – 3{x^2} + {m^2} – m + 1\) có hai điểm cực trị là A, B thỏa mãn \({S_{\Delta ABC}} = 7\) với \(C\left( { – 2;4} \right)\). Tổng \(m_1^2 + m_2^2\) bằng
A. \(5\)
B. \(10\)
C. \(13\)
D. \(3\)
Hướng dẫn
Chọn đáp án là C
Lời giải chi tiết:
\(\begin{array}{l}y = {x^3} – 3{x^2} + {m^2} – m + 1\\y’ = 3{x^2} – 6x = 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow y = {m^2} – m + 1\\x = 2 \Rightarrow y = {m^2} – m – 3\end{array} \right.\end{array}\)
\( \Rightarrow \) Hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là \(A\left( {0;{m^2} – m + 1} \right)\), \(B\left( {2;{m^2} – m – 3} \right)\).
Thực hiện phép chia đa thức, ta được: \(y = y’.\left( {\frac{1}{3}x – \frac{1}{3}} \right) – 2x + {m^2} – m + 1\).
Do đó, đường thẳng đi qua 2 điểm cực tiểu và cực đại là \(\left( d \right):y = – 2x + {m^2} – m + 1\) \( \Leftrightarrow – 2x – y + {m^2} – m + 1 = 0\)
\(\begin{array}{l}d\left( {C;d} \right) = \frac{{\left| {-2.\left( { – 2} \right) – 4 + {m^2} – m + 1} \right|}}{{\sqrt {{{\left( { – 2} \right)}^2} + {{\left( { – 1} \right)}^2}} }} = \frac{{\left| {{m^2} – m + 1} \right|}}{{\sqrt 5 }}\\AB = \sqrt {{{\left( {{x_A} – {x_B}} \right)}^2} + {{\left( {{y_A} – {y_B}} \right)}^2}} = \sqrt {{2^2} + {{\left( { – 4} \right)}^2}} = 2\sqrt 5 \\ \Rightarrow {S_{ABC}} = \frac{1}{2}.2\sqrt 5 .\frac{{\left| {{m^2} – m + 1} \right|}}{{\sqrt 5 }} = 7\\ \Rightarrow \left| {{m^2} – m + 1} \right| = 7\\ \Rightarrow {m^2} – m + 1 = 7\,\,\,\left( {Do\,\,{m^2} – m + 1 > 0\,\,\forall m} \right)\\ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}{m_1} = 3\\{m_2} = – 2\end{array} \right.\\ \Rightarrow m_1^2 + m_2^2 = {3^2} + {\left( { – 2} \right)^2} = 13.\end{array}\)
Chọn C.
