by Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số \(y = {x^4} – 2m{x^2} + 1\) có 3 cực trị tạo thành một tam giác có diện tích bằng 4
A. \(\sqrt[5]{4}\).
B. \(\sqrt[5]{8}\).
C. \(\sqrt[5]{2}\).
D. \(\sqrt[5]{{16}}\).
Hướng dẫn
Chọn đáp án là D
Phương pháp giải:
– Lấy đạo hàm của hàm số rồi tìm các điểm cực trị \(A,\,\,B,\,\,C\) của đồ thị hàm số.
– Nhận xét: Ba điểm cực trị của hàm trùng phương luôn tạo thành tam giác cân (giả sử cân tại \(A\))
– Gọi \(H\) là trung điểm của \(BC\), chứng minh \(AH \bot BC\).
– Tính \(AH,\,\,BC\), sử dụng công thức tính độ dài đoạn thẳng \(AB = \sqrt {{{\left( {{x_B} – {x_A}} \right)}^2} + {{\left( {{y_B} – {y_A}} \right)}^2}} \).
– Sử dụng công thức tính diện tích tam giác \({S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}AH.BC\).
Lời giải chi tiết:
TXĐ: \(D = \mathbb{R}\).
Ta có \(y’ = 4{x^3} – 4mx = 4x\left( {{x^2} – m} \right)\).
Cho \(y’ = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\{x^2} = m\,\,\,\left( 1 \right)\end{array} \right.\)
Để hàm số đã cho có 3 điểm cực trị thì phương trình \(y’ = 0\) phải có 3 nghiệm phân biệt, khi đó phương trình (1) phải có 2 nghiệm phân biệt khác \(0\) \( \Rightarrow m > 0\).
Khi đó ta có \(y’ = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow y = 1\\x = \sqrt m \Rightarrow y = – {m^2} + 1\\x = – \sqrt m \Rightarrow y = – {m^2} + 1\end{array} \right.\).
Suy ra đồ thị hàm số đã cho có 3 điểm cực trị là \(A\left( {0;1} \right)\); \(B\left( {\sqrt m ;1 – {m^2}} \right)\); \(C\left( { – \sqrt m ;1 – {m^2}} \right).\)
Dễ thấy \(A \in Oy\), \(B\) và \(C\) đối xứng nhau qua \(Oy\), do đó tam giác \(ABC\) cân tại \(A\).
Gọi \(H\) là trung điểm của \(BC\)\( \Rightarrow H\left( {0;1 – {m^2}} \right)\) và \(AH \bot BC\) (tính chất tam giác cân).
Ta tính được: \(AH = \sqrt {{{\left( {0 – 0} \right)}^2} + {{\left( {1 – {m^2} – 1} \right)}^2}} = {m^2}\), \(BC = \sqrt {{{\left( {\sqrt m + \sqrt m } \right)}^2} + {{\left( {1 – {m^2} – 1 + {m^2}} \right)}^2}} = 2\sqrt m \).
Theo bài ra ta có: \({S_{ABC}} = 4\) \( \Leftrightarrow \frac{1}{2}AH.BC = 4\) \( \Leftrightarrow AH.BC = 8\).
\( \Leftrightarrow {m^2}.2\sqrt m = 8\)\( \Leftrightarrow {\left( {{m^2}\sqrt m } \right)^2} = {4^2}\)\( \Leftrightarrow {m^5} = 16 \Leftrightarrow m = \sqrt[5]{{16}}\,\,\,\left( {tm} \right).\)
Vậy \(m = \sqrt[5]{{16}}\).
Chọn D.
