by Gọi a là nghiệm dương của phương trình \(\sqrt 2 {x^2} + x – 1 = 0\) . Không giải phương trình, hãy tính \(C = \,\frac{{2a – 3}}{{\sqrt {2\left( {2{a^4} – 2a + 3} \right)} + 2{a^2}}}\) .
A \(C = \frac{{ – 2}}{{\sqrt 2 }}\) .
B \(C = \frac{{ – 1}}{{\sqrt 3 }}\) .
C \(C = \frac{{ – 1}}{{\sqrt 7 }}\) .
D \(C = \frac{{ – 1}}{{\sqrt 2 }}\) .
Hướng dẫn Chọn đáp án là: D
Phương pháp giải:
+) Tính \({a^2}\) và \({a^4}\) theo a.
+) Thế thích hợp vào biểu thức của C và rút gọn.
Lời giải chi tiết:
Ta có: a là nghiệm dương của phương trình \(\sqrt 2 {x^2} + x – 1 = 0\) nên
\(\sqrt 2 {a^2} + a – 1 = 0\, \Leftrightarrow \,{a^2} = \frac{{1 – a}}{{\sqrt 2 }}\,\,\,\left( {0 < a < 1} \right) \Rightarrow {a^4} = \frac{{1 – 2a + {a^2}}}{2}\)
Thay lại vào C, ta được:
\(\begin{array}{l}C = \,\frac{{2a – 3}}{{\sqrt {2\left( {2{a^4} – 2a + 3} \right)} + 2{a^2}}}\\C = \frac{{\left( {2a – 3} \right)\left[ {\sqrt {2\left( {2{a^4} – 2a + 3} \right)} – 2{a^2}} \right]}}{{\left[ {\sqrt {2\left( {2{a^4} – 2a + 3} \right)} + 2{a^2}} \right]\left[ {\sqrt {2\left( {2{a^4} – 2a + 3} \right)} – 2{a^2}} \right]}}\\C = \frac{{\left( {2a – 3} \right)\left[ {\sqrt {2\left( {2{a^4} – 2a + 3} \right)} – 2{a^2}} \right]}}{{2\left( {2{a^4} – 2a + 3} \right) – 4{a^4}}}\\C = \frac{{\left( {2a – 3} \right)\left[ {\sqrt {2\left( {2{a^4} – 2a + 3} \right)} – 2{a^2}} \right]}}{{2\left( { – 2a + 3} \right)}}\\C = – \frac{{\sqrt {2\left( {2{a^4} – 2a + 3} \right)} – 2{a^2}}}{2}\\C = \frac{{ – 1}}{2}\left[ {\sqrt {2\left( {2.\frac{{1 – 2a + {a^2}}}{2} – 2a + 3} \right)} – 2{a^2}} \right]\\C = \frac{{ – 1}}{2}\left[ {\sqrt {2\left( {{a^2} – 4a + 4} \right)} – 2{a^2}} \right]\\C = \frac{{ – 1}}{2}\left[ {\sqrt {2{{\left( {2 – a} \right)}^2}} – 2{a^2}} \right]\\C = \frac{{ – 1}}{2}\left( {\sqrt 2 \left( {2 – a} \right) – 2{a^2}} \right)\\C = \frac{{a – 2}}{{\sqrt 2 }} + {a^2} = \frac{{a – 2}}{{\sqrt 2 }} + \frac{{1 – a}}{{\sqrt 2 }} = \frac{{ – 1}}{{\sqrt 2 }}\end{array}\)
Vậy \(C = \frac{{ – 1}}{{\sqrt 2 }}\) .
