by Công thức tích phân từng phần
Cho hai hàm số u và v có đạo hàm liên tục trên đoạn [a, b], thì ta có :
$\int\limits_a^b {udv = \left. {\left[ {uv} \right]} \right|_a^b – \int\limits_a^b {vdu} } $
Trong lúc tính tính tích phân từng phần ta có những ưu tiên sau :
Ưu tiên 1: Nếu có hàm ln hay logarit thì phải đặt u = ln(x) hay u = log$_a$x.
Ưu tiên 2 : Đặt u = ? mà có thể hạ bậc.
Ví dụ áp dụng công thức tích phân từng phần
Ví dụ 1: Tính các tích phân sau :
a) ${I_1} = \int\limits_0^1 {x.{e^x}dx} $
b) ${I_2} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{x^2}.\cos xdx}$
c) ${I_3} = \int\limits_1^e {\ln xdx}$
Lời giải:
a) Đặt: $\left\{ \begin{array}{l}
u = x \to du = dx\\
dv = {e^x}dx \to v = {e^x}
\end{array} \right.\quad $
${I_1} = \int\limits_0^1 {x.{e^x}dx} = \left. {x.{e^x}} \right|_0^1 – \int\limits_0^1 {{e^x}} dx = e – \left. {{e^x}} \right|_0^1 = e – \left( {e – 1} \right) = 1$
b) Đặt: $\left\{ \begin{array}{l}
u = {x^2} \to du = 2xdx\\
dv = \cos xdx \to v = \sin x
\end{array} \right.\quad $
Vậy: $\int\limits_0^1 {x.{e^x}dx} = \left. { – x.\cos x} \right|_0^{\frac{\pi }{2}} – 2\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {x.\sin xdx} = {\left( {\frac{\pi }{2}} \right)^2} – 2\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {x.\sin xdx} \,\,\,\,\left( 1 \right)$
Ta đi tính tích phân $\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {x.\sin xdx} \quad$
Đặt: $\left\{ \begin{array}{l}
u = x \to du = dx\\
dv = \sin xdx \to v = – \cos x
\end{array} \right.\quad $
Vậy: $\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {x.\sin xdx} = \left. { – x.\cos x} \right|_0^{\frac{\pi }{2}} + \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\cos xdx} = \left. { – x.\cos x} \right|_0^{\frac{\pi }{2}} + \left. {\sin } \right|_0^{\frac{\pi }{2}} = 1$
Thế vào (1) ta được: ${I_1} = \int\limits_0^1 {x.{e^x}dx} = \frac{{{\pi ^2} – 8}}{4}$
c) Đặt:
$\left\{ \begin{array}{l}
u = \cos \left( {\ln x} \right) \to du = – \frac{1}{x}\sin \left( {\ln x} \right)dx\\
dv = dx \to v = x
\end{array} \right.\quad $
Vậy: ${I_3} = \int\limits_1^e {\ln xdx} = \left. {x.\ln x} \right|_1^e – \int\limits_1^e {dx} = \left. {x.\ln x} \right|_1^e – \left. x \right|_0^e = 1$
Ví dụ 2: Tính các tích phân sau
a) ${I_1} = \int\limits_0^\pi {{e^x}.\sin xdx}$
b) ${I_2} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\frac{x}{{{{\cos }^2}x}}dx}$
c) ${I_3} = \int\limits_1^{{e^\pi }} {\cos \left( {\ln x} \right)dx} $
Lời giải:
a) Đặt: $\left\{ \begin{array}{l}
u = {e^x} \to du = {e^x}dx\\
dv = \sin xdx \to v = – \cos x
\end{array} \right.\quad $
Vậy: ${I_1} = \int\limits_0^\pi {{e^x}.\sin xdx} = \left. { – {e^x}.\cos x} \right|_0^\pi + \int\limits_0^\pi {{e^x}.\cos xdx = {e^\pi } + 1 + J\quad \left( 1 \right)} $
Đặt: $\left\{ \begin{array}{l}
u = {e^x} \to du = {e^x}dx\\
dv = \cos xdx \to v = \sin x
\end{array} \right.\quad $
Vậy: $J = \int\limits_0^\pi {{e^x}.\cos xdx} = \left. {{e^x}.\sin x} \right|_0^\pi – \int\limits_0^\pi {{e^x}.\sin xdx} = – I$
Thế vào (1) ta được: $2{I_1} = {e^\pi } + 1 \to {I_1} = \frac{{{e^\pi } + 1}}{2}$
b) Đặt: $\left\{ \begin{array}{l}u = x \to du = dx\\dv = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}dx \to v = \tan x\end{array} \right.\quad$
Vậy: ${I_2} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\frac{x}{{{{\cos }^2}x}}dx} = \left. {x.\tan x} \right|_0^{\frac{\pi }{4}} – \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\tan xdx = } \frac{\pi }{4} + \left. {\ln \left( {\cos x} \right)} \right|_0^{\frac{\pi }{4}} = \frac{\pi }{4} + \ln \frac{{\sqrt 2 }}{2}$
c) Đặt: $\left\{ \begin{array}{l}u = \cos \left( {\ln x} \right) \to du = – \frac{1}{x}\sin \left( {\ln x} \right)dx\\dv = dx \to v = x\end{array} \right.\quad $
Vậy: ${I_3} = \int\limits_1^{{e^\pi }} {\cos \left( {\ln x} \right)dx} = \left. {x.\cos \left( {\ln x} \right)} \right|_1^{{e^\pi }} + \int\limits_1^{{e^\pi }} {\sin \left( {\ln x} \right)dx} = – \left( {{e^\pi } + 1} \right) + J$
Đặt:
$\left\{ \begin{array}{l}
u = \sin \left( {\ln x} \right) \to du = \frac{1}{x}\cos \left( {\ln x} \right)dx\\
dv = dx \to v = x
\end{array} \right.\quad $
Vậy: ${I_3} = \int\limits_1^{{e^\pi }} {\sin \left( {\ln x} \right)dx} = \left. {x.\sin \left( {\ln x} \right)} \right|_1^{{e^\pi }} – \int\limits_1^{{e^\pi }} {\cos \left( {\ln x} \right)dx} = 0 – {I_3}$
Thế vào (1) ta được: $2{I_3} = – \left( {{e^\pi } + 1} \right)\quad \Rightarrow \quad {I_3} = – \frac{{{e^\pi } + 1}}{2}$
