by Có tất cả bao nhiêu giá trị thực của tham số \(m\) để đồ thị hàm số \(y = \frac{2}{3}{x^3} – m{x^2} – 2\left( {3{m^2} – 1} \right)x + \frac{2}{3}\) có hai điểm cực trị có hoành độ \({x_1},{x_2}\)sao cho \({x_1}{x_2} + 2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) = 1\).
A. \(1\).
B. \(0\).
C. \(3\) .
D. \(2\).
Hướng dẫn
Chọn đáp án là A
Phương pháp giải:
– Tìm đạo hàm của hàm số.
– Tìm điều kiện để hàm số có 2 điểm cực trị: Phương trình \(y’ = 0\) có hai nghiệm phân biệt.
– Sử dụng định lí Viét để tìm mối quan hệ giữa hai cực trị \({x_1};\,\,{x_2}\) của hàm số.
– Dựa vào dữ kiện đề bài để tìm m.
Lời giải chi tiết:
TXĐ: \(D = \mathbb{R}\).
Ta có hàm số \(y = \frac{2}{3}{x^3} – m{x^2} – 2\left( {3{m^2} – 1} \right)x + \frac{2}{3}\) có đạo hàm là \(y’ = 2{x^2} – 2mx – 2\left( {3{m^2} – 1} \right)\)
Cho \(y’ = 0 \Leftrightarrow 2{x^2} – 2mx – 2\left( {3{m^2} – 1} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow {x^2} – mx – 3{m^2} + 1 = 0\) (1)
Để hàm số có 2 điểm cực trị thì phương trình (1) phải có 2 nghiệm phân biệt.
Phương trình (1) có hai nghiệm khi và chỉ khi \(\Delta = {m^2} + 3{m^2} – 1 > 0 \Leftrightarrow 4{m^2} – 1 > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m > \frac{1}{2}\\m < – \frac{1}{2}\end{array} \right.\)
Khi đó hai điểm cực trị \({x_1},\,\,{x_2}\) của hàm số chính là hai nghiệm phân biệt của phương trình (1). Áp dụng định lý Viét ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = m\\{x_1}{x_2} = 1 – 3{m^2}\end{array} \right.\).
Theo bài ra ta có:
\(\begin{array}{l}{x_1}{x_2} + 2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) = 1\\ \Leftrightarrow 1 – 3{m^2} + 2m = 1\\ \Leftrightarrow 3{m^2} – 2m = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0\,\,\,\,\left( {ktm} \right)\\m = \frac{2}{3}\,\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)
Chọn A.
