. Có $5$ bi đỏ và $5$ bi trắng có kích thước đôi một khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách xếp các bi này thành một hàng dài sao cho hai bi cùng màu không được nằm kề nhau?

.

Có $5$ bi đỏ và $5$ bi trắng có kích thước đôi một khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách xếp các bi này thành một hàng dài sao cho hai bi cùng màu không được nằm kề nhau?

C. $28800$.

B. $86400$.

C. $43200$.

D. $720$.

Hướng dẫn

Đáp án A.

Ta thấy điều kiện xếp là hai bi cùng màu không nằm cạnh nhau nên ta phải xếp xen kẽ các viên bi.

Có $2$ cách chọn viên bi đầu tiên (có thể là đỏ hoặc trắng). Mỗi cách chọn có $5!$ cách xếp $5$ bi đỏ và có $5!$ cách xếp $5$ bi trắng. Vậy có $2.5!.5!=28800$ cách xếp.

Nhiều bạn có lời giải sai như sau: Ở đây ta áp dụng quy tắc “vách ngăn” để giải quyết bài toán.

Số cách xếp $5$ bi đỏ là có $5!$ cách. $5$ bi đỏ tạo ra $6$ vách ngăn để xếp $5$ bi trắng vào. Số cách xếp $5$ bi trắng là $A_{6}^{5}$ cách.

Vậy số cách xếp các viên bi là $5!.A_{6}^{5}=86400$. Từ đây chọn $B$ là sai. Do nếu theo quy tắc vách ngăn ở đây có $6$ vách mà có $5$ bi, tức là có thể có vách ngăn trống khiến cho $2$ viên bi cùng màu cạnh nhau.