. Cho đa giác đều ${{A}_{1}}{{A}_{2}}…{{A}_{2n}}$ nội tiếp trong đường tròn tâm $O$. Biết rằng số tam giác có đỉnh là $3$ trong $2n$ điểm ${{A}_{1}};\,{{A}_{2}};\,…;\,{{A}_{2n}}$ gấp $20$ lần so với số hình chữ nhật có đỉnh là $4$ trong $2n$ điểm ${{A}_{1}};\,{{A}_{2}};\,…;\,{{A}_{2n}}$. Vậy giá trị của $n$ là:

.

Cho đa giác đều ${{A}_{1}}{{A}_{2}}…{{A}_{2n}}$ nội tiếp trong đường tròn tâm $O$. Biết rằng số tam giác có đỉnh là $3$ trong $2n$ điểm ${{A}_{1}};\,{{A}_{2}};\,…;\,{{A}_{2n}}$ gấp $20$ lần so với số hình chữ nhật có đỉnh là $4$ trong $2n$ điểm ${{A}_{1}};\,{{A}_{2}};\,…;\,{{A}_{2n}}$. Vậy giá trị của $n$ là:

C. $n=10$.

B. $n=12$.

C. $n=8$.

D. $n=14$.

Hướng dẫn

Đáp án C.

Số tam giác có 3 đỉnh là $3$ trong $2n$ điểm ${{A}_{1}};{{A}_{2}};…;{{A}_{2n}}$ là $C_{2n}^{3}$.

Ứng với hai đường chéo đi qua tâm của đa giác ${{A}_{1}}{{A}_{2}}…{{A}_{2n}}$cho tương ứng một hình chữ nhật có 4 đỉnh

là $4$ điểm trong $2n$ điểm ${{A}_{1}};{{A}_{2}};…;{{A}_{2n}}$và ngược lại mỗi hình chữ nhật như vậy sẽ cho ra $2$ đường chéo đi qua tâm$O$ của đa giác.

Mà số đường chéo đi qua tâm của đa giác đều $2n$ đỉnh là $n$ nên số hình chữ nhật có đỉnh là $4$ trong $2n$ điểm là $C_{n}^{2}$

Theo đề bài ta có: $C_{2n}^{3}=20C_{n}^{2}\Leftrightarrow \frac{2n\left( 2n-1 \right)\left( 2n-2 \right)}{3!}=\frac{20n\left( n-1 \right)}{2}\Leftrightarrow n=8$.