by Cho tứ giác ABCD có \(\widehat C = {50^ \circ },\widehat D = {80^ \circ }\), AD = BC. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD. Tính số đo góc EFC.
A. \({150^0}\)
B. \({115^0}\)
C. \({105^0}\)
D. \({106^0}\)
Hướng dẫn Chọn đáp án là: C
Phương pháp giải:
+ Gọi G, H lần lượt là trung điểm của AC, BD, ta chứng minh EGFH là hình thoi.
+ Dựa vào tính chất đường chéo của hình thoi để suy ra EF là tia phân giác của HFG.
+ Từ đó tính được số đo góc EFC nhờ \(\widehat {GFC} = \widehat {ADC},\widehat {HFG} = \widehat {BCD}\)
Lời giải chi tiết:
Gọi G, H lần lượt là trung điểm của AC, BD.
Vì E, G lần lượt là trung điểm của AB, AC nên EG là đường trung bình của tam giác ABC . Suy ra \(EG = {1 \over 2}BC;\,\,EG//BC.\)
Chứng minh tương tự ta cũng có:
\(GF = {1 \over 2}AD,FH = {1 \over 2}BC,HE = {1 \over 2}AD;\,\,GF//AD;\,\,FH//BC;\,\,HE//AD.\)
Mà AD = BC (gt), nên EG = GF = FH = HE.
Suy ra tứ giác EGFH là thoi
Suy ra EF là tia phân giác của góc \(\widehat {HFG} \Rightarrow \widehat {EFG} = {1 \over 2}\widehat {HFG}.\)
\(\widehat {GFC} = \widehat {ADC} = {80^0}\,\left( {do\,\,GF//AD} \right);\,\,\widehat {HFD} = \widehat {BCD} = {50^0}\,\,\,\left( {do\,\,\,FH//BC} \right).\)
Do đó \(\widehat {HFG} = {180^0} – \left( {\widehat {GFC} + \widehat {HFD}} \right) = {50^0} \Rightarrow \widehat {EFG} = {1 \over 2}{.50^0} = {25^0}\)
Vậy \(\widehat {EFC} = \widehat {EFG} + \widehat {GFC} = {25^0} + {80^0} = {105^0}\)
