by Cho tích phân \(I = \int\limits_1^{\sqrt 3 } {{{\sqrt {1 + {x^2}} } \over {{x^2}}}dx} \) ta được:
A. \(\sqrt 2 – {2 \over {\sqrt 3 }} + \ln {{2 – \sqrt 3 } \over {\sqrt 2 – 1}}\)
B. \(\sqrt 2 – {2 \over {\sqrt 3 }} + \ln {{\sqrt 2 – 1} \over {2 – \sqrt 3 }}\)
C. \(\sqrt 2 – {2 \over {\sqrt 3 }}\)
D. \(\ln {{2 – \sqrt 3 } \over {\sqrt 2 – 1}}\)
Hướng dẫn
Chọn đáp án là B
Phương pháp giải:
Đặt \(t = {{\sqrt {1 + {x^2}} } \over x}\)
Lời giải chi tiết:
Đặt \(t = {{\sqrt {1 + {x^2}} } \over x} \Leftrightarrow {t^2}{x^2} = 1 + {x^2} \Leftrightarrow {x^2}\left( {{t^2} – 1} \right) = 1 \Rightarrow {x^2} = {1 \over {{t^2} – 1}} \Rightarrow 2xdx = {{ – 2t} \over {{{\left( {{t^2} – 1} \right)}^2}}}dt\)
\( \Rightarrow {{dx} \over x} = {{ – tdt} \over {{{\left( {{t^2} – 1} \right)}^2}}}.\left( {{t^2} – 1} \right) = {{ – tdt} \over {{t^2} – 1}}\)
Đổi cận \(\left\{ \matrix{ x = 1 \Rightarrow t = \sqrt 2 \hfill \cr x = \sqrt 3 \Rightarrow t = {2 \over {\sqrt 3 }} \hfill \cr} \right.\), khi đó ta có:
\(\begin{array}{l}
I = – \int\limits_{\sqrt 2 }^{\frac{2}{{\sqrt 3 }}} {\frac{{{t^2}dt}}{{{t^2} – 1}}} = \int\limits_{\frac{2}{{\sqrt 3 }}}^{\sqrt 2 } {\left( {1 + \frac{1}{{{t^2} – 1}}} \right)dt} \\
= \left( {\sqrt 2 – \frac{2}{{\sqrt 3 }}} \right) + \int\limits_{\frac{2}{{\sqrt 3 }}}^{\sqrt 2 } {\frac{1}{{{t^2} – 1}}dt} \\
= \left( {\sqrt 2 – \frac{2}{{\sqrt 3 }}} \right) + \left. {\frac{1}{2}\ln \left| {\frac{{t – 1}}{{t + 1}}} \right|} \right|_{\frac{2}{{\sqrt 3 }}}^{\sqrt 2 }\\
= \left( {\sqrt 2 – \frac{2}{{\sqrt 3 }}} \right) + \frac{1}{2}\left( {\ln \left( {3 – 2\sqrt 2 } \right) – \ln \left( {7 – 4\sqrt 3 } \right)} \right)\\
= \sqrt 2 – \frac{2}{{\sqrt 3 }} + \ln \left( {\sqrt 2 – 1} \right) – \ln \left( {2 – \sqrt 3 } \right)\\
= \sqrt 2 – \frac{2}{{\sqrt 3 }} + \ln \frac{{1 – \sqrt 2 }}{{2 – \sqrt 3 }}
\end{array}\)
Chọn B.
