Cho tam giác nhọn \(ABC\). Gọi \(a,b,c\) lần lượt là độ dài các cạnh \(BC;CA\) và \(AB\). Chứng minh rằng: \(\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}}.\)

Cho tam giác nhọn \(ABC\). Gọi \(a,b,c\) lần lượt là độ dài các cạnh \(BC;CA\) và \(AB\).

Chứng minh rằng: \(\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}}.\)

Phương pháp giải:

Áp dụng hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông.

Sử dụng công thức tính diện tích tam giác.

Lời giải chi tiết:

Xét \(\Delta ABH\) vuông tại \(H\) ta có:

\(sinB = \frac{{AH}}{{AB}} \Leftrightarrow sinB = \frac{{AH}}{c}\)\( \Leftrightarrow AH = csinB\)

\( \Rightarrow {S_{ABC}} = \frac{{AH.BC}}{2} = \frac{1}{2}ac\sin B\)

Chứng minh tương tự ta được: \(\left\{ \begin{array}{l}{S_{ABC}} = \frac{1}{2}ab\sin C\\{S_{ABC}} = \frac{1}{2}bc\sin A\end{array} \right..\)

\( \Rightarrow \frac{1}{2}ab\sin C = \frac{1}{2}bc\sin A = \frac{1}{2}ac\sin B\) (đpcm).