by Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\), đường cao \(AH\). Đặt \(AB = c;AC = b;BC = a\).
Chứng minh rằng:
a) \(AH = a\sin B\cos B\) b) \(BH = a{\cos ^2}B\)
Phương pháp giải:
a) Áp dụng hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông.
Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông \(AH.BC = AB.AC\)
b) Áp dụng hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông.
Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông \(A{B^2} = BH.BC\)
Lời giải chi tiết:
a) \(AH = a\sin B.\sin C\)
Xét \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) ta có:
\(\begin{array}{l}AB = BC.\sin C = a\sin C\\AC = BC.\sin B = a\sin B\end{array}\)
Áp dụng hệ thức lượng trong \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) có đường cao \(AH\) ta có:
\(AH.BC = AB.AC\)\( \Leftrightarrow AH.a = a\sin B.a\sin C\)\( \Leftrightarrow AH = a\sin B.\sin C\) (đpcm).
b) \(BH = a{\cos ^2}B\)
Xét \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) ta có:
\(AB = BC.\cos B = a\cos B\)
Áp dụng hệ thức lượng trong \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) có đường cao \(AH\) ta có:
\( \Rightarrow A{B^2} = BH.BC\)\( \Leftrightarrow {\left( {a\cos B} \right)^2} = BH.a\)\( \Leftrightarrow BH = a{\cos ^2}B\) (đpcm)
