by Cho tam giác \(ABC\) với \(AC>AB\). Gọi \(M,N\) lần lượt là trung điểm của \(BC\) và \(AB\). Từ \(M\) và \(C\) kẻ đường vuông góc với phân giác trong của góc \(A\), các đường này lần lượt cắt tia \(AB\) tại \(P\) và \(E\).
a) Chứng minh rằng \(AP=\frac{AB+AC}{2}\)
b) Chứng minh \(\Delta PNM\) là tam giác cân.
c) So sánh \(PN\) và \(AC\)
Phương pháp giải:
Phương pháp:
a) Chứng minh \(P\) là trung điểm của \(BE\) dựa vào đường trung bình rồi suy ra \(AP=\frac{AB+AE}{2}\).
Chứng minh \(\Delta ACE\) cân tại \(A\) suy ra \(AE=AC\Rightarrow \) đpcm.
b) Chứng minh \(\Delta NPM\) cân tại \(N\) bằng cách sử dụng tính chất đường trung bình và tính chất tam giác cân.
c) Chứng minh \(PN=\frac{1}{2}AC\).
Lời giải chi tiết:
a) Ta có \(AP=AB+BP\)
\(AP=AEPE\)
Do đó \(2AP=AB+AE+BPPE\text{ }\left( 1 \right)\)
Trong tam giác \(BCE\) ta có :\(BM=MC\) và \(MP//CE\) (cùng vuông góc với tia phân giác \(Ax\)) nên suy ra \(P\) là trung điểm của \(BE\) và ta có \(BP=PE\) .
Mặt khác tam giác \(ACE\) cân tại \(A\) vì có phân giác trong của góc \(A\) cũng là đường cao. Do đó \(AE=AC\) .
Vậy (1) cho ta \(2AP=AB+AC\) hay \(\text{AP =}\frac{AB+AC}{2}\) (đpcm)
b) Đường thẳng \(MP\) cắt \(AC\) tại \(Q\) . Ta có tam giác \(APQ\) cân tại \(A\) vì phân giác trong của góc \(A\) cũng là đường cao, nên ta có \(\widehat{APM}=\widehat{AQP}\) .
Mà \(\widehat{NMP}=\widehat{AQP}\) (hai góc đồng vị)
Do đó \(\widehat{APM}=\widehat{NMP}\)
Suy ra tam giác \(MNP\) cân tại \(N\).
Suy ra \(PN=MN\)
c) Ta có \(MN=\frac{1}{2}AC\) ( đường trung bình của tam giác \(ABC\))
Vậy \(PN=\frac{1}{2}AC\).
