Tháng Ba 29, 2024

Cho tam giác ABC. Trên các cạnh AB và AC lần lượt lấy hai điểm D và E sao cho BD = CE. Gọi M, P, N, Q thứ tự là trung điểm của BE, CD, DE và BC. Chứng minh PQ vuông góc với MN.

Cho tam giác ABC. Trên các cạnh AB và AC lần lượt lấy hai điểm D và E sao cho BD = CE. Gọi M, P, N, Q thứ tự là trung điểm của BE, CD, DE và BC. Chứng minh PQ vuông góc với MN.

Phương pháp giải:

+ Để chứng minh \(MN \bot PQ\) trước hết ta chứng minh MNPQ là hình thoi dựa vào dấu hiệu tứ giác có bốn canh bằng nhau là hình thoi.

+ Ta nhận xét thấy MN, PQ là hai đường chéo của hình thoi nên \(MN \bot PQ\)

Lời giải chi tiết:

Từ giả thiết ta có MN, NP, NQ, QM lần lượt là các đường trung bình của các tam giác BDE, ECD, DCB, BEC. (định nghĩa đường trung bình).

Đặt BD = CE =2a.

Áp dụng định lý đường trung bình và giả thiết vào bốn tam giác trên ta được:

\(MP = {1 \over 2}BD = a;NQ = {1 \over 2}DB = a;NP = {1 \over 2}CE = a;MQ = {1 \over 2}CE = a\)

Suy ra MN = NP = PQ = QM.

Tứ giác MNPQ có bốn cạnh bằng nhau nên là hình thoi.

Áp dụng tính chất về đường chéo vào hình thoi MNPQ ta được: \(MN \bot PQ\) (đpcm).