by Cho \(\sqrt a + \sqrt b = 6.\) Tìm \(a,\,\,b\) để \(P\) đạt GTNN và GTNN đó là bao nhiêu?
A \(a = b = – 1\,\,;\,\,\min P = – 5.\)
B \(a = b = 1\,\,;\,\,\min P = 1.\)
C \(a = b = 9\,\,;\,\,\min P = – 6.\)
D \(a = b = 3\,\,;\,\,\min P = – 9.\)
Hướng dẫn Chọn đáp án là: D
Phương pháp giải:
Dựa vào điều kiện của \(a,\,\,b\) để tìm GTNN của biểu thức.
Lời giải chi tiết:
Điều kiện: \(a \ge 0,\,\,\,b > 0,\,\,\,ab \ne 1.\)
Ta có: \(\sqrt a + \sqrt b = 6 \Leftrightarrow \sqrt b = 6 – \sqrt a \)
\( \Rightarrow P = – \sqrt {ab} = – \sqrt a \left( {6 – \sqrt a } \right) = – 6\sqrt a + a = a – 6\sqrt a + 9 – 9 = {\left( {\sqrt a – 3} \right)^2} – 9.\)
Với mọi \(a \ge 0 \Rightarrow {\left( {\sqrt a – 3} \right)^2} \ge 0 \Rightarrow {\left( {\sqrt a – 3} \right)^2} – 9 \ge – 9.\)
\( \Rightarrow P \ge – 9.\)
Dấu ‘‘=’’ xảy ra \( \Leftrightarrow \sqrt a – 3 = 0 \Leftrightarrow \sqrt a = 3 \Leftrightarrow a = 9\,\,\,\left( {tm} \right).\)
\( \Rightarrow \sqrt b = 6 – \sqrt a = 6 – 3 = 3 \Leftrightarrow b = 9\,\,\,\left( {tm} \right).\)
Vậy khi \(\sqrt a + \sqrt b = 6\) thì \(MinP = – 9\) khi \(a = b = 9.\)
Chọn D.
