Cho \(\int\limits_0^b {{{{e^x}} \over {\sqrt {{e^x} + 3} }}dx} = 2\) với \(b \in K\). Khi đó K là khoảng nào trong các khoảng sau?

Cho \(\int\limits_0^b {{{{e^x}} \over {\sqrt {{e^x} + 3} }}dx} = 2\) với \(b \in K\). Khi đó K là khoảng nào trong các khoảng sau?

A. \(K = \left( {1;2} \right)\)

B. \(K = \left( {0;1} \right)\)

C. \(K = \left( {{1 \over 2};{3 \over 2}} \right)\)

D. \(K = \left( {2;3} \right)\)

Hướng dẫn

Chọn đáp án là A

Phương pháp giải:

Đặt ẩn phụ \(t = \sqrt {{e^x} + 3} \)

Lời giải chi tiết:

Đặt \(t = \sqrt {{e^x} + 3} \Leftrightarrow {t^2} = {e^x} + 3 \Rightarrow 2tdt = {e^x}dx\), đổi cận \(\left\{ \matrix{ x = 0 \Rightarrow t = 2 \hfill \cr x = b \Rightarrow t = \sqrt {{e^b} + 3} \hfill \cr} \right.\) , khi đó ta có:

\(I = \int\limits_2^{\sqrt {{e^b} + 3} } {{{2tdt} \over t}} = \left. {2t} \right|_2^{\sqrt {{e^b} + 3} } = 2\sqrt {{e^b} + 3} – 4 = 2 \Leftrightarrow \sqrt {{e^b} + 3} = 3 \Leftrightarrow {e^b} + 3 = 9 \Leftrightarrow {e^b} = 6 \Leftrightarrow b = \ln 6 \in \left( {1;2} \right)\)

Chọn A.