Tháng Ba 29, 2024

Cho \(I = \int\limits_0^1 {\frac{{dx}}{{\sqrt {2x + m} }}} \) , \(m\) là số thực dương. Tìm tất cả các giá trị của \(m\) để \(I \ge 1.\)

Cho \(I = \int\limits_0^1 {\frac{{dx}}{{\sqrt {2x + m} }}} \) , \(m\) là số thực dương. Tìm tất cả các giá trị của \(m\) để \(I \ge 1.\)

A. \(0 < m \le \frac{1}{4}\)

B. \(m \ge \frac{1}{4}\)

C. \(m > 0\)

D. \(\frac{1}{8} \le m \le \frac{1}{4}\)

Hướng dẫn

Chọn đáp án là A

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức \(\int {{{\left( {ax + b} \right)}^n}dx} = \frac{1}{a}\frac{{{{\left( {ax + b} \right)}^{n + 1}}}}{{n + 1}} + C\,\left( {n \ne – 1} \right)\) và \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} = \left. {F\left( x \right)} \right|_a^b = F\left( b \right) – F\left( a \right)\) với \(F\left( x \right)\) là nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right).\)

Lời giải chi tiết:

Ta có \(\int\limits_0^1 {\frac{{dx}}{{\sqrt {2x + m} }} = \int\limits_0^1 {{{\left( {2x + m} \right)}^{ – \frac{1}{2}}}dx} = \frac{1}{2}\left. {\frac{{{{\left( {2x + m} \right)}^{\frac{1}{2}}}}}{{\frac{1}{2}}}} \right|} _0^1 = \sqrt {2 + m} – \sqrt m \)

Từ đề bài ta có \(I \ge 1 \Leftrightarrow \sqrt {2 + m} – \sqrt m \ge 1\) \(\left( {m > 0} \right)\)

\(\sqrt {2 + m} \ge \sqrt m + 1 \Leftrightarrow 2 + m \ge m + 2\sqrt m + 1 \Leftrightarrow 2\sqrt m \le 1 \Leftrightarrow m \le \frac{1}{4} \Rightarrow 0 < m \le \frac{1}{4}.\)

Chọn A