Biết \(\int\limits_1^3 {\frac{{\left( {3x + 1} \right)dx}}{{3{x^2} + x\ln x}}} = \ln \left( {a + \frac{{\ln b}}{c}} \right)\) với \(a,b,c\) là các số nguyên dương và \(c \le 4\). Tổng \(a + b + c\) bằng :

Biết \(\int\limits_1^3 {\frac{{\left( {3x + 1} \right)dx}}{{3{x^2} + x\ln x}}} = \ln \left( {a + \frac{{\ln b}}{c}} \right)\) với \(a,b,c\) là các số nguyên dương và \(c \le 4\). Tổng \(a + b + c\) bằng :

A. \(7\)

B. \(6\)

C. \(8\)

D. \(9\)

Hướng dẫn

Chọn đáp án là D

Phương pháp giải:

Đặt \(t = \ln x \Rightarrow x = {e^t} \Rightarrow dx = {e^t}dt\).

Lời giải chi tiết:

Đặt \(t = \ln x \Rightarrow x = {e^t} \Rightarrow dx = {e^t}dt\). Đổi cận \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 \Rightarrow t = 0\\x = 3 \Rightarrow t = \ln 3\end{array} \right.\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \int\limits_1^3 {\frac{{\left( {3x + 1} \right)dx}}{{3{x^2} + x\ln x}}} = \int\limits_0^{\ln 3} {\frac{{\left( {3{e^t} + 1} \right){e^t}dt}}{{3{e^{2t}} + {e^t}t}}} = \int\limits_0^{\ln 3} {\frac{{3{e^t} + 1dt}}{{3{e^t} + t}}} = \int\limits_0^{\ln 3} {\frac{{d\left( {3{e^t} + t} \right)}}{{3{e^t} + t}}} \\ = \left. {\ln \left| {3{e^t} + t} \right|} \right|_0^{\ln 3} = \ln \left| {9 + \ln 3} \right| – \ln 3 = \ln \frac{{9 + \ln 3}}{3} = \ln \left( {3 + \frac{{\ln 3}}{3}} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 3\\b = 3\\c = 3\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right. \Rightarrow a + b + c = 9\end{array}\)

Chọn D.