Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}{\rm{\backslash }}\left\{ 0 \right\}\) và \(f\left( x \right) + 2f\left( {\frac{1}{x}} \right) = 3x,\,\forall x \ne 0\). Tính \(I = \int\limits_1^2 {f\left( x \right)dx} \)?

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}{\rm{\backslash }}\left\{ 0 \right\}\) và \(f\left( x \right) + 2f\left( {\frac{1}{x}} \right) = 3x,\,\forall x \ne 0\). Tính \(I = \int\limits_1^2 {f\left( x \right)dx} \)?

A. \(2\ln 2\).

B. \(\ln 2 – \frac{3}{2}\).

C. \(2\ln 2 – \frac{3}{2}\).

D. \(2\ln 3 + \frac{3}{2}\).

Hướng dẫn

Chọn đáp án là C

Phương pháp giải:

Xác định hàm số \(f\left( x \right)\), từ đó tính tích phân \(I = \int\limits_1^2 {f\left( x \right)dx} \).

Lời giải chi tiết:

Với mọi \(x \ne 0\), ta có: \(f\left( x \right) + 2f\left( {\frac{1}{x}} \right) = 3x\,\, \Rightarrow f\left( {\frac{1}{x}} \right) + 2f\left( x \right) = \frac{3}{x}\,\)\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left( {f\left( x \right) + 2f\left( {\frac{1}{x}} \right)} \right) – 2\left( {f\left( {\frac{1}{x}} \right) + 2f\left( x \right)} \right) = 3x – \frac{6}{x} \Leftrightarrow – 3f\left( x \right) = 3x – \frac{6}{x}\\ \Leftrightarrow f\left( x \right) = \frac{2}{x} – x\end{array}\)

Khi đó: \(I = \int\limits_1^2 {f\left( x \right)dx} = \int\limits_1^2 {\left( {\frac{2}{x} – x} \right)dx} = \left. {\left( {2\ln \left| x \right| – \frac{1}{2}{x^2}} \right)} \right|_1^2 = 2\ln 2 – \frac{3}{2}\).

Chọn: C