by Cho đoạn mạch RLC nối tiếp (cuộn dây thuần cảm) với \(CR^2 <2L\). Đặt vào hai đầu đoạn mạch điện áp \(u = U_0 cos \omega t (V)\) với \(\omega\) thay đổi được. Điều chỉnh \(\omega\) để điện áp hiệu dụng giữa hai bản tụ đạt cực đại, khi đó điện áp hiệu dụng trên điện trở gấp 5 lần điện áp hiệu dụng trên cuộn dây. Hệ số công suất của đoạn mạch đó là
A. \(\frac{5}{\sqrt{31}}\)
B. \(\frac{2}{\sqrt{29}}\)
C. \(\frac{5}{\sqrt{29}}\)
D. \(\frac{3}{\sqrt{29}}\)
Hướng dẫn
Điện áp trên tụ được tính:
\(U_c = Z_C\frac{U}{Z} = \frac{U}{\sqrt{\frac{R^2 + (Z_L – Z_C)}{Z_C^2}}}\)
\(= \frac{U}{\sqrt{(LC)^2 \omega ^4 + (R^2 C^2 – 2 LC)\omega ^2 + 1}}\)
Đặt \(x = \omega ^2 \rightarrow y = (LC)^2 x^2 + (R^2 C^2 – 2 LC)x + 1\)\(\Rightarrow y’ = 2 (LC)^2 x + R^2C^2 – 2 LC\) cho y’ = 0
\(\rightarrow x = \frac{2 LC – R^2 C^2}{2 (LC)^2}\) \(\rightarrow\) y cực tiểu \(\rightarrow\) Uc cực đại
\(\Rightarrow \omega = \frac{1}{L}\sqrt{\frac{2 L – CR^2}{2C}}\)
\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} Z_L = \sqrt{\frac{2L – CR^2}{2C}}\\ Z_C = L \sqrt{\frac{2}{(2 L – CR^2)C}}\end{matrix}\right.\)
Và theo đề bài thì \(U_R = 5 U_L \Leftrightarrow R = 5 Z_L\)
\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} Z_L = \frac{R}{5}\\ Z_C = \frac{27 R}{10}\end{matrix}\right.\Rightarrow cos \varphi = \frac{R}{Z} = \frac{R}{\sqrt{R^2 + (\frac{R}{5} – \frac{27 R}{10})^2}} = \frac{2}{\sqrt{9}}\)
