Cho hình vuông ABCD, E là một điểm trên cạnh CD. Tia phân giác của góc BAE cắt BC tại M. Chứng minh rằng \(AM \le 2ME\)

Phương pháp giải:

Ta thấy nếu vẽ \(EF \bot AM(F \in AB)\) thì EF = AM.

Ta có AM là đường phân giác, đường cao của tam giác AEF, nên tam giác AEF cân đỉnh A.

Từ đó có ME = MF.

Xét ba điểm M, E, F ta có: \(EF \le ME + MF\)

Do đó \(AM \le 2ME\)

Lời giải chi tiết:

Vẽ \(EF \bot AM(F \in AB),EG \bot AB(G \in AB)\)

Tứ giác AGED là hình chữ nhật( vì \(\widehat G = \widehat A = \widehat D = {90^0}\) ), suy ra GE = AD.

Xét \(\Delta GEF\) và \(\Delta BAM\) có: \(\widehat {EGF} = \widehat {ABM} = {90^0}\); GE = AB (=CD); \(\widehat {FEG} = \widehat {MAB}\)

Do đó \(\Delta GEF = \Delta BAM\) (g.c.g) suy ra EF = AM.

Tam giác AEF có AM là đường phân giác và là đường cao nên tam giác AEF cân đỉnh A. Ta có AM là đường trung trực của EF, nên ME = MF.

Xét ba điểm M, E, F ta có: \(EF \le ME + MF \Leftrightarrow EF \le 2ME\). Do đó \(AM \le 2ME\) (đpcm).