by Cho hình chữ nhật ABCD. M, N, P, Q là các đỉnh của tứ giác MNPQ và lần lượt thuộc các cạnh AB, BC, CD, DA. Tìm giá trị nhỏ nhất của chu vi tứ giác MNPQ, khi đó tứ giác MNPQ là hình gì?
Phương pháp giải:
+ Gọi thêm các điểm I, H, K lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng QM, QN, PN.
+ Ta tính chu vi tứ giác MNPQ:
Dễ thấy
\(\eqalign{& AI = {1 \over 2}QM,IH = {1 \over 2}MN,HK = {1 \over 2}PQ,KC = {1 \over 2}NP \cr & \Rightarrow AI + IH + HK + KC = {1 \over 2}(QM + MN + PQ + NP) = {1 \over 2}{P_{MNPQ}} \cr} \)
Mà \(AI + IH + HK + KC \ge AC\) , từ đó suy ra lời giải bài toán.
Lời giải chi tiết:
Gọi I, H, K lần lượt là trung điểm các đoạn QM, QN, PN.
Xét tam giác AQM vuông tại A có AI là đường trung tuyến nên suy ra \(AI = {1 \over 2}QM\)
IH là đường trung bình của tam giác QMN nên \(IH = {1 \over 2}MN\), IH // MN.
Tương tự \(KC = {1 \over 2}NP,HK = {1 \over 2}PQ\), HK // PQ.Do đó \(AI{\rm{ }} + {\rm{ }}IH{\rm{ }} + {\rm{ }}HK{\rm{ }} + {\rm{ }}KC{\rm{ }} = {1 \over 2}{P_{MNPQ}}\)
Mặt khác nếu xét các điểm A, I, H, K, C ta có: \(AI{\rm{ }} + {\rm{ }}IH{\rm{ }} + {\rm{ }}HK{\rm{ }} + {\rm{ }}KC{\rm{ }} \ge AC\)Do đó \({P_{MNPQ}} \ge 2AC\) (không đổi)
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi A, I, H, K, C thẳng hàng theo thứ tự đó.
Điều đó tương đương với MN//AC//QP, QM//BD//NP hay MNPQ là hình bình hành.
Vậy giá trị nhỏ nhất của chu vi MNPQ là 2AC.
