by Cho hình bình hành ABCD có AD = 2AB, \(\widehat{A}={{60}^{0}}\). Gọi E, F lần lượt là trung điểm BC và AD.
a) Chứng minh AE \(\bot \) BF.
b) Chứng minh tứ giác BFDC là hình thang cân.
c) Lấy M đối xứng của A qua B. Chứng minh tứ giác BMCD là hình chữ nhật.
Suy ra M, E, D thẳng hàng.
Phương pháp giải:
a. Để chứng minh \(AE\bot BF\) ta chứng minh ABEF là hình thoi dựa vào dấu hiệu hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau.
b. Để chứng minh BFDC là hinh thang cân ta dựa vào dấu hiệu hình thang có hai cạnh bên bằng nhau.
c. Để chứng minh BMCD là hình chữ nhật ta dựa vào dấu hiệu hình bình hành có một góc vuông.
Lời giải chi tiết:
a) Do E là trung điểm của BC nên \(BE=EC=\frac{1}{2}BC\)
F là trung điểm của AD nên \(AF=FD=\frac{1}{2}AD\)
Mà AD = BC (do ABCD là hình bình hành), nên BE = AF. (1)
Ta lại có BE // AF (do ABCD là hình bình hành) (2)
Từ (1) và (2) suy ra ABEF là hình bình hành. (3)
Ta có \(AD=2AB\Rightarrow AB=\frac{1}{2}AD\Rightarrow AB=BE\) (4)
Từ (3) và (4) suy ra ABEF là hình thoi, suy ra \(AE\bot BF\) (hình thoi có hai đường chéo vuông góc).
b) Xét tam giác ABF có: AB = AF nên tam giác ABF cân tại A.
Lại có \(\angle A = {60^0}\), suy ra tam giác ABF là tam giác đều \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}BF = AB = AF\\\angle ABF = {60^0}\end{array} \right.\) (tính chất tam giác đều)
Ta có: \(\angle A = {60^0} \Rightarrow \angle BCD = {60^0}\) (tính chất hình bình hành)
Vì \(\angle A + \angle ABC = {180^0}\) (hai góc trong cùng phía)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \angle ABC ={180^0}- \angle A = {120^0}.\\ \Rightarrow \angle FBC = \angle ABC – \angle ABF = {120^0} – {60^0} = {60^0}\\ \Rightarrow \angle FBC = \angle BCD = {60^0}.\end{array}\)
Xét tứ giác FDBC có:
FD // BC (do ABCD là hình bình hành)
\(\angle FBC = \angle BCD = {60^0}\;\;\left( {cmt} \right)\)
Suy ra BFDC là hình thang cân. (dhnb).
c) Xét tứ giác BMCD có BM = CD (= AB), BM // CD nên tứ giác BMCD là hình bình hành (5)
Xét tam giác ABD có: \(BF=AF=FD=\frac{1}{2}AD\)
Suy ra tam giác ABD vuông tại B.
Suy ra \(\widehat{MBD}={{90}^{0}}\)(6)
Từ (5) và 6 suy ra BMCD là hình chữ nhật.
Có E là trung điểm của BC \(\Rightarrow \) E là giao điểm của hai đường chéo hình chữ nhật.
\(\Rightarrow \) M, E, D thẳng hàng.
