Cho \(\Delta ABC\) vuông tại A (AB < AC) có \(M\) là trung điểm cạnh \(BC\). Vẽ MD vuông góc với \(AB\) tại \(D\) và \(ME\) vuông góc với \(AC\) tại \(E\). a) Chứng minh tứ giác \(ADME\) là hình chữ nhật b) Chứng minh \(E\) là trung điểm cuả đoạn thẳng \(AC\) và tứ giác \(CMDE\) là hình bình hành c) Vẽ \(AH \bot BC\). Chứng minh tứ giác \(MHDE\) là hình thang cân

Cho \(\Delta ABC\) vuông tại A (AB < AC) có \(M\) là trung điểm cạnh \(BC\). Vẽ MD vuông góc với \(AB\) tại \(D\) và \(ME\) vuông góc với \(AC\) tại \(E\).

a) Chứng minh tứ giác \(ADME\) là hình chữ nhật

b) Chứng minh \(E\) là trung điểm cuả đoạn thẳng \(AC\) và tứ giác \(CMDE\) là hình bình hành

c) Vẽ \(AH \bot BC\). Chứng minh tứ giác \(MHDE\) là hình thang cân

Phương pháp giải:

a) Chứng minh 1 tứ giác là hình chữ nhật dựa vào dấu hiệu tứ giác có 3 góc vuông.

b) Sử dụng định lí về đường trung bình của tam giác để suy ra trung điểm cạnh còn lại.

Chứng minh 1 tứ giác là có 2 cạnh đối song song là hình bình hành.

c) Chứng minh 1 tứ giác là hình thang cân dựa ào dấu hiệu hình bình hành có 2 góc kề 1 đáy bằng nhau.

Lời giải chi tiết:

a) Chứng minh tứ giác ADME là hình chữ nhật.

Ta có: \(\mathop A\limits^ \wedge = {90^0}\)(vì \(\Delta ABC\) vuông tại A)

\(\widehat {MDA} = 90^\circ \)(do \(MD \bot AB\))

\(\widehat {MEA} = 90^\circ \)(do \(ME \bot AC\))

Do đó tứ giác ADME là hình chữ nhật. (dấu hiệu nhận biết)

b) Chứng minh E là trung điểm cuả đoạn thẳng AC và tứ giác CMDE là hình bình hành.

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}ME \bot AC\\BA \bot AC\end{array} \right. \Rightarrow ME//BA\)(1)

Mà M là trung điểm của BC (gt) (2)

Từ (1) và (2) suy ra E cũng là trung điểm của AC. (định lý đảo của đường trung bình).

Lại có : Tứ giác CMDE là hình chữ nhật nên \(MD//AE \Rightarrow MD//AC\)(3)

Mà M là trung điểm của BC (gt) (4)

Từ (3) và (4) suy ra D là trung điểm của AB.

Do đó DE là đường trung bình của tam giác ABC \( \Rightarrow DE//BC \Rightarrow DE//MC\)(5)

Mặt khác \(\left\{ \begin{array}{l}CA \bot AB\\HD \bot AB\end{array} \right. \Rightarrow CA//HD \Rightarrow CE//HD\)(6)

Từ (5) và (6) suy ra tứ giác DECM là hình bình hành. (dấu hiệu nhận biết).

c) Chứng minh tương tự ta có tứ giác DEMB cũng là hình bình hành\( \Rightarrow \widehat B = \widehat {DEM}\)(7)

Tam giác BHA vuông có HD là trung tuyến \( \Rightarrow HD = DA = DB = \frac{{AB}}{2}\)

Suy ra DH=DB hay \(\Delta HBD\)cân tại D \( \Rightarrow \widehat B = \widehat {DHB}\)

Mà \(\widehat {DHB} = \widehat {HDE}\)(vì DE//BC)

Nên \(\widehat B = \widehat {HDE}\)(8)

Từ (7) và (8) suy ra \(\widehat {DEM} = \widehat {HDE}\)(9).

Xét tứ giác HMED có HM//DE nên tứ giác HMDE là hình thang (10)

Từ (9) và (10) suy ra tứ giác HMED là hình thang cân.