Tháng Năm 31, 2023

Cho hình bình hành ABCD có AB = a, BC = b(a>b). Các phân giác trong của các góc A, B, C, D tạo thành tứ giác MNPQ. Chứng minh MNPQ là hình chữ nhật. Chứng minh các đường chéo của hình chữ nhật MNPQ song song với các cạnh của hình bình hành ABCD. Tính độ dài đường chéo hình chữ nhật MNPQ theo a, b.

Cho hình bình hành ABCD có AB = a, BC = b(a>b). Các phân giác trong của các góc A, B, C, D tạo thành tứ giác MNPQ.

Chứng minh MNPQ là hình chữ nhật. Chứng minh các đường chéo của hình chữ nhật MNPQ song song với các cạnh của hình bình hành ABCD. Tính độ dài đường chéo hình chữ nhật MNPQ theo a, b.

Phương pháp giải:

a) Ta chứng minh QPNM là hình chữ nhật dựa vào dấu hiệu tứ giác có 3 góc vuông là hình chữ nhật.

b) Để chứng minh QN//AB//CD ta chứng minh DQNF là hình bình hành dựa vào dấu hiệu tứ giác có cặp cạnh đối sonh song và bằng nhau là hình bình hành, lập luận để suy ra QN // AB // CD, từ đó suy ra điều phải chứng minh.

+ Tính độ dài đường chéo hình chữ nhật thông qua cạnh DF của hình bình hành DQNF (do QN = DF).

Lời giải chi tiết:

a) \(AQ \bot DQ\) (phân giác hai góc kề bù A và D). Suy ra \(\widehat {MPQ} = {90^ \circ }\)

Tương tự :\(\widehat {NMQ} = \widehat {MNP} = {90^0}\)

Xét tứ giác MNPQ có \(\widehat {MQP} = \widehat {NMQ} = \widehat {MNP} = {90^0}\), do đó tứ giác MNPQ là hình chữ nhật.

b) Ta chứng minh NQ song song với AB và CD.

Gọi E là giao điểm PQ và AB, F là giao điểm của MN và CD.

Tam giác ADE có phân giác AQ cũng là đường cao do đó tam giác cân tại A, suy ra DQ = QE = DE:2

Tương tự tam giác BCF cân tại C, do đó FN = BN = BF : 2.

Ta lại có DEBF là hình bình hành (cặp cạnh đối song song), suy ra DE = BF.

Suy ra DQ = FN và DQ // FN. Vậy DQNF là hình bình hành, từ đó:QN//DF hay QN // AB // CD.Ta có: QN = DF = CD – CF

Mà CD = AB = a, CF = CB = b, do đó: QN = a – b.

Vậy độ dài đường chéo hình chữ nhật bằng hiệu hai cạnh hình bình hành.