by Cho hình thang cân ABCD, đáy nhỏ AB = 6, CD = 18, AD = 10. Gọi I, K, M, L lần lượt là trung điểm của các đoạn BC, CA, AD và BD.
Chứng minh M, L, K, I thẳng hàng và ABKL là hình chữ nhật. Tính độ dài các cạnh và đường chéo của hình chữ nhật ABKL.
Phương pháp giải:
a) Để chứng minh M, L, I, K thẳng hàng ta lần lượt chứng minh ML, IK thuộc đường trung bình MI của hình thang ABCD.
+ Để chứng minh ABKL là hình chữ nhật ta chứng minh ABKL là hình bình hành dựa vào dấu hiệu tứ giác có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau. Sau đó chỉ ra hai đường chéo hình bình hành bằng nhau để chứng minh ABKL là hình chữ nhật.
b) + Đầu tiên ta áp dụng định lý pitago cho tam giác vuông AML để tìm AL
+ Áp dụng định lý pitago cho tam giác vuông AKL để tìm AK.
Lời giải chi tiết:
a) Xét tam giác ABD có :
M, L lần lượt là trung điểm của AD, BD, do đó ML là đường trung bình của tam giác ABD.
Suy ra ML // AB và ML = AB : 2 = 3.
Vậy ML nằm trên đường trung bình MI của hình thang ABCD. (1)
Chứng minh tương tự ta có: IK là đường trung bình của tam giác ABC. Do đó, IK // AB và IK = AB : 2 = 3.
Vậy IK nằm trên đường trung bình MI của hình thang ABCD. (2)
Từ (1) và (2) suy ra bốn điểm M, L, K, I nằm trên đường trung bình MI của hình thang ABCD.
Ta có \(MI = {1 \over 2}\left( {AB + CD} \right) = {1 \over 2}\left( {6 + 18} \right) = 12\) (do MI là đường trung bình của hình thang ABCD)
Suy ra KL = MI – ML – KI = 12 – 3 – 3 = 6.
Xét tứ giác ABKL có: KL = AB(=6); KL//AB.
Do đó ABKL là hình bình hành.
Lại có \(BL = {1 \over 2}BD,AK = {1 \over 2}AC\)Mà AC = BD (đường chéo hình thang cân)Suy ra AK = BL.
Xét hình bình hành ABKL có AK = KL nên suy ra ABKL là hình chữ nhật.
b) Theo trên ta có AB = KL = 6.
Áp dụng định lý Pitago cho tam giác vuông AML ta có: \(A{L^2} = A{M^2} – M{L^2} = {5^2} – {3^2} = 16\)
Vậy AL = BK =4.
Áp dụng định lý Pitago cho tam giác vuông AKL ta có:
\(A{K^2} = A{L^2} + L{K^2} = {4^2} + {6^2} = 16 + 36 = 52\)
Vậy \(AK = {\rm{ }}BL{\rm{ }} = \sqrt {52} \)
