by Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang với đáy lớn AD, E là một điểm thuộc mặt bên $\left( SCD \right)$ . F, G lần lượt là các điểm thuộc cạnh AB và SB. Thiết diện của hình chóp $S.ABCD$ cắt bởi mặt phẳng $\left( EFG \right)$ có thể là:
C. Tam giác, tứ giác .
B. Tứ giác, ngũ giác.
C. Tam giác, ngũ giác.
D. Ngũ giác.
Hướng dẫn
Đáp án B.
Trong mặt phẳng $\left( ABCD \right)$, gọi $H$ là giao điểm của $AB$ và $CD$. Trong mặt phẳng $\left( SAB \right)$, gọi $I$ là giao điểm của $FG$ và $SH$.
Xét các trường hợp sau:
Trường hợp 1:
Trong mặt phẳng $\left( SCD \right)$ , $IE$ cắt $SC$ tại $J$ và cắt đoạn $CD$ tại $K$.
Ta có $J\in IE\subset \left( EFG \right)$ nên $J$ là giao điểm của $\left( EFG \right)$ với $SC$ ,
$K\in IE\subset \left( EFG \right)$ nên $K$ là giao điểm của $\left( EFG \right)$ với $CD$.
Ta có $\left\{ \begin{align}
& \left( EFG \right)\cap \left( ABCD \right)=FK;\,\,\left( EFG \right)\cap \left( SAB \right)=FG \\
& \left( EFG \right)\cap \left( SBC \right)=GJ;\,\,\,\left( EFG \right)\cap \left( SCD \right)=JK \\
\end{align} \right.$
Suy ra tứ giác $KFGJ$ là thiết diện của hình chóp cắt bởi $\left( EFG \right)$.
Trường hợp 2:
Trong mặt phẳng $\left( SCD \right)$ , $IE$ cắt $SC$ tại $J$ và cắt đoạn $SD$ tại $K$(cắt $CD$ tại một điểm nằm ngoài đoạn $CD$).
Trong mặt phẳng $\left( SBC \right)$ :
Nếu $GJ$ song song với $BC$ thì ta có: $\frac{BG}{G\text{S}}=\frac{CJ}{J\text{S}}$ . Gọi $T$ là giao điểm của $IE$ với $CD$ .
Áp dụng định lí Menelaus vào các tam giác $SBH$ và $SCH$ ta có
$\frac{FB}{FH}.\frac{IH}{IS}.\frac{G\text{S}}{GB}=1=\frac{TC}{TH}.\frac{IH}{IS}.\frac{J\text{S}}{JC}\Rightarrow \frac{FB}{FH}=\frac{TC}{TH}$ . Điều này chỉ xảy ra khi $T$ thuộc đoạn $CD$ (vô lí)
Do vây $GJ$ cắt $BC$ , giả sử tại $L$.
Trong mặt phẳng $\left( ABCD \right)$ , gọi $M$ là giao điểm của $LF$ với $AD$ .
Ta có $\left\{ \begin{align}
& \left( EFG \right)\cap \left( ABCD \right)=FM;\,\,\left( EFG \right)\cap \left( SAB \right)=FG \\
& \left( EFG \right)\cap \left( SBC \right)=GJ;\,\,\,\left( EFG \right)\cap \left( SCD \right)=JK \\
& \left( EFG \right)\cap \left( SAD \right)=KM \\
\end{align} \right.$
Suy ra ngũ giác $KJGFM$ là thiết diện của hình chóp cắt bởi $\left( EFG \right)$ .
Vậy thiết diện của hình chóp $S.ABCD$ cắt bởi mặt phẳng $\left( EFG \right)$ hoặc là tứ giác hoặc là ngũ giác.
