by Cho hình chóp $S.ABCD,\,\,E$ là trung điểm của $SB,\,F$ thuộc SC sao cho $3\overrightarrow{SF}=2\overrightarrow{SC},\,\,G$ là một điểm thuộc miền trong tam giác $SAD$ . Thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng $\left( EFG \right)$ là:
C. Tam giác, tứ giác .
B. Tứ giác, ngũ giác.
C. Tam giác, ngũ giác.
D. Ngũ giác.
Hướng dẫn
Đáp án B.
Trong mặt phẳng $\left( SBC \right)$ , gọi $J$ là giao điểm của $EF$ với $BC$ . Trong mặt phẳng $\left( SAD \right)$ , gọi $I$ là giao điểm của $SG$ với $AD$ . Trong mặt phẳng $\left( ABCD \right)$ , gọi $N$ là giao điểm của $IJ$ với $CD$ . Trong mặt phẳng $\left( SIJ \right)$ , gọi $K$ là giáo điểm của $JG$ với $SN$ .
Trong mặt phẳng $\left( SCD \right)$ , có hai khả năng xảy ra như sau:
Trường hợp 1: $FK$ cắt đoạn $CD$ tại $P$ .
Trong mặt phẳng $\left( ABCD \right)$ , gọi $Q$ là giao điểm của $JP$ với $AD$. Trong mặt phẳng $\left( SAD \right)$ , gọi $R$ là giao điểm của $QG$ với $SA$ .
Ta có $\left\{ \begin{align}
& \left( EFG \right)\cap \left( ABCD \right)=PQ;\,\,\left( EFG \right)\cap \left( SAD \right)=QR \\
& \left( EFG \right)\cap \left( SAB \right)=RE;\,\,\,\left( EFG \right)\cap \left( SBC \right)=EF \\
& \left( EFG \right)\cap \left( SCD \right)=FP \\
\end{align} \right.$
Trường hợp này , ngũ giác $REFPQ$ là thiết diện của hình chóp $S.ABCD$ cắt bởi $\left( EFG \right)$.
Trường hợp 2: $FK$ cắt $SD$ tại $H$ ($FK$ không cắt đoạn $CD$ ).
Trong mặt phẳng $\left( SAD \right)$ , gọi $M$ là giao điểm của $HG$ với $SA$ ($HG$ không thể cắt đoạn $AD$ vì giả sử ngược lại $HG$ cắt cạnh $AD$ tại $O$ , khi đó $JO$ sẽ cắt cạnh $CD$ (vô lí vì $\left( EFG \right)$ đã cắt cạnh $SC,\,SD$ )).
Khi đó $\left\{ \begin{align}
& \left( EFG \right)\cap \left( SCD \right)=FH;\,\,\left( EFG \right)\cap \left( SAD \right)=MH \\
& \left( EFG \right)\cap \left( SAB \right)=ME;\,\,\,\left( EFG \right)\cap \left( SBC \right)=EF \\
\end{align} \right.$
Trường hợp này, tứ giác $MEFH$ là thiết diện của hình chóp cắt bởi $\left( EFG \right)$.
