Cho hàm số\(y = {x^3} – \left( {m + 1} \right){x^2} – \left( {2{m^2} – 3m + 2} \right)x + 1\). Kết luận nào sau đây đúng?

Cho hàm số\(y = {x^3} – \left( {m + 1} \right){x^2} – \left( {2{m^2} – 3m + 2} \right)x + 1\). Kết luận nào sau đây đúng?

A. Hàm số luôn đồng biến trên R.

B. Hàm số luôn nghịch biến trên R.

C. Hàm số không đơn điệu trên R.

D. Hàm số có hai cực trị và khoảng cách giữa hai điểm cực trị bằng 1 với mọi m.

Hướng dẫn

Chọn đáp án là C

Phương pháp giải:

Khảo sát sự biến thiên của hàm số để chọn đáp án đúng.

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(y’ = 3{x^2} – 2\left( {m + 1} \right)x – 2{m^2} + 3m – 2\)

Ta có

\(\begin{array}{l}\Delta ‘ = {\left( {m + 1} \right)^2} + 3\left( {2{m^2} – 3m + 2} \right) = 7{m^2} – 7m + 7 = 7\left( {{m^2} – m + 1} \right)\\\,\,\,\,\,\, = 7\left( {{{\left( {m – \frac{1}{2}} \right)}^2} + \frac{3}{4}} \right) > 0\,\,\,\forall m\end{array}\)

Khi đó phương trình \(y’ = 0\) có 2 nghiệm phân biệt. Suy ra hàm số không đơn điệu trên \(\mathbb{R}\).

Chọn C.