by Cho hàm số \(y = {x^4} – 2{x^2}\) có đồ thị \(\left( S \right)\). Gọi \(A,\,\,B,\,\,C\) là các điểm phân biệt trên \(\left( S \right)\) có tiếp tuyến với \(\left( S \right)\) tại các điểm đó song song với nhau. Biết \(A,\,\,B,\,\,C\) cùng nằm trên một parabol \(\left( P \right)\) có đỉnh \(I\left( {\frac{1}{6};{y_0}} \right)\). Tìm \({y_0}\)?
A. \({y_0} = \frac{1}{6}\)
B. \({y_0} = – \frac{1}{{36}}\)
C. \({y_0} = \frac{1}{{36}}\)
D. \({y_0} = – \frac{1}{6}\)
Hướng dẫn
Chọn đáp án là B
Phương pháp giải:
Tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại điểm có hoành độ \(x = {x_0}\) là \(k = y’\left( {{x_0}} \right)\).
Lời giải chi tiết:
\(y = {x^4} – 2{x^2} \Rightarrow y’ = 4{x^3} – 4x\).
Giả sử các tiếp tuyến tại \(A,\,\,B,\,\,C\) có hệ số góc cùng bằng \(k \Rightarrow 4{x^3} – 4x = k\,\,\,\left( 1 \right)\).
Ta có: \({x^4} – 2{x^2} = \frac{1}{4}x\left( {4{x^3} – 4x} \right) – {x^2} = \frac{1}{4}xk – {x^2}\).
Do đó ba điểm \(A,\,\,B,\,\,C\) thuộc đồ thị hàm số \(y = – {x^2} + \frac{1}{4}kx\,\,\left( P \right)\).
Theo giả thiết \(\left( P \right)\) có đỉnh \(I\left( {\frac{1}{6};{y_0}} \right)\) nên \(\frac{{ – \frac{1}{4}k}}{{2\left( { – 1} \right)}} = \frac{1}{6} \Leftrightarrow – \frac{1}{4}k = – \frac{1}{3} \Leftrightarrow k = \frac{4}{3}\).
Khi đó \(\left( P \right):\,\,y = – {x^2} + \frac{1}{3}x\).
Vậy \({y_0} = y\left( {\frac{1}{6}} \right) = – {\left( {\frac{1}{6}} \right)^2} + \frac{1}{3}.\frac{1}{6} = \frac{1}{{36}}\).
Chọn B.
