by Cho hàm số \(y = {x^3} – 3{x^2} + 2\) có đồ thị \(\left( C \right)\). Giả sử đường thẳng \(\left( d \right):\,\,y = ax + b\) là tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại điểm có hoành độ dương. Tính \(a – b\) biết rằng \(\left( d \right)\) cắt trục hoành và trục tung lần lượt tại \(A\) và \(B\) sao cho \(OB = 9OA\).
A. \(10\)
B. \(34\)
C. \( – 2\)
D. \( – 16\)
Hướng dẫn
Chọn đáp án là B
Phương pháp giải:
– Gọi \(A\left( {m;0} \right) = d \cap Ox\,\,\left( {m \ne 0} \right)\), xác định tọa độ điểm \(B\) theo \(m\).
– Viết phương trình đoạn chắn của đường thẳng \(d\) đi qua \(A,\,\,B\).
– \(\left( d \right):\,\,y = ax + b\) tiếp xúc với đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) thì \(a = f’\left( x \right)\). Tìm \(x\) và viết phương trình tiếp tuyến sau đó suy ra \(a,\,\,b\).
Lời giải chi tiết:
Gọi \(A\left( {m;0} \right) = d \cap Ox\,\,\left( {m \ne 0} \right)\) \( \Rightarrow OA = \left| m \right|\).
\( \Rightarrow OB = 9OA = 9\left| m \right|\)\( \Rightarrow B\left( {0;9\left| m \right|} \right) = d \cap Oy\).
Khi đó ta có phương trình đoạn chắn của đường thẳng \(d\) là:
\(\frac{x}{m} + \frac{y}{{9\left| m \right|}} = 1 \Leftrightarrow y = – \frac{{9\left| m \right|}}{m}x + 9\left| m \right|\).
\( \Rightarrow a = – \frac{{9\left| m \right|}}{m} = \pm 9\), \(b = 9\left| m \right|\).
Vì \(d\) là tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = {x^3} – 3{x^2} + 2\) nên \(y’ = 3{x^2} – 6x = \pm 9 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3\\x = – 1\end{array} \right.\).
Theo giả thiết \(d\) là tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại điểm có hoành độ dương nên \(d\) là tiếp tuyến tại điểm có hoành độ \(x = 3\).
\( \Rightarrow y’\left( 3 \right) = 9;\,\,y\left( 3 \right) = 2\).
Suy ra phương trình đường thẳng \(d\) là \(y = 9\left( {x – 3} \right) = 2 \Leftrightarrow 9x – 25\).
Vậy \(a = 9;\,\,b = – 25 \Rightarrow a – b = 34\).
Chọn B.
